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        1. (2)A球沿圓柱截面運動的最大位移. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          第六部分 振動和波

          第一講 基本知識介紹

          《振動和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同,必須做一些相對詳細的補充。

          一、簡諧運動

          1、簡諧運動定義:= -k             

          凡是所受合力和位移滿足①式的質(zhì)點,均可稱之為諧振子,如彈簧振子、小角度單擺等。

          諧振子的加速度:= -

          2、簡諧運動的方程

          回避高等數(shù)學工具,我們可以將簡諧運動看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運動(以下均看在x方向的投影),圓周運動的半徑即為簡諧運動的振幅A 。

          依據(jù):x = -mω2Acosθ= -mω2

          對于一個給定的勻速圓周運動,m、ω是恒定不變的,可以令:

          2 = k 

          這樣,以上兩式就符合了簡諧運動的定義式①。所以,x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運動的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——

          位移方程: = Acos(ωt + φ)                                        ②

          速度方程: = -ωAsin(ωt +φ)                                     ③

          加速度方程:= -ω2A cos(ωt +φ)                                   ④

          相關(guān)名詞:(ωt +φ)稱相位,φ稱初相。

          運動學參量的相互關(guān)系:= -ω2

          A = 

          tgφ= -

          3、簡諧運動的合成

          a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成,可令合振動x = Acos(ωt +φ) ,由于x = x1 + x2 ,解得

          A =  ,φ= arctg 

          顯然,當φ2-φ1 = 2kπ時(k = 0,±1,±2,…),合振幅A最大,當φ2-φ1 = (2k + 1)π時(k = 0,±1,±2,…),合振幅最小。

          b、方向垂直、同頻率振動合成。當質(zhì)點同時參與兩個垂直的振動x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時,這兩個振動方程事實上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點在二維空間運動的軌跡參數(shù)方程,消去參數(shù)t后,得一般形式的軌跡方程為

          +-2cos(φ2-φ1) = sin22-φ1)

          顯然,當φ2-φ1 = 2kπ時(k = 0,±1,±2,…),有y = x ,軌跡為直線,合運動仍為簡諧運動;

          當φ2-φ1 = (2k + 1)π時(k = 0,±1,±2,…),有+= 1 ,軌跡為橢圓,合運動不再是簡諧運動;

          當φ2-φ1取其它值,軌跡將更為復(fù)雜,稱“李薩如圖形”,不是簡諧運動。

          c、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ,由于合運動x = x1 + x2 ,得:x =(2Acost)cos(t +φ)。合運動是振動,但不是簡諧運動,稱為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。

          4、簡諧運動的周期

          由②式得:ω=  ,而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一致的,所以

          T = 2π                                                      

          5、簡諧運動的能量

          一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構(gòu)成,即

          mv2 + kx2 = kA2

          注意:振子的勢能是由(回復(fù)力系數(shù))k和(相對平衡位置位移)x決定的一個抽象的概念,而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當我們計量了振子的抽象勢能后,其它的具體勢能不能再做重復(fù)計量。

          6、阻尼振動、受迫振動和共振

          和高考要求基本相同。

          二、機械波

          1、波的產(chǎn)生和傳播

          產(chǎn)生的過程和條件;傳播的性質(zhì),相關(guān)參量(決定參量的物理因素)

          2、機械波的描述

          a、波動圖象。和振動圖象的聯(lián)系

          b、波動方程

          如果一列簡諧波沿x方向傳播,振源的振動方程為y = Acos(ωt + φ),波的傳播速度為v ,那么在離振源x處一個振動質(zhì)點的振動方程便是

          y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω(t - )+ φ〕

          這個方程展示的是一個復(fù)變函數(shù)。對任意一個時刻t ,都有一個y(x)的正弦函數(shù),在x-y坐標下可以描繪出一個瞬時波形。所以,稱y = Acos〔ω(t - )+ φ〕為波動方程。

          3、波的干涉

          a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時,能獨立的維持它們的各自形態(tài)傳播,在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加(包括位移、速度和加速度的疊加)。

          b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時,在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài):振動加強的區(qū)域和振動削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。

          我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示,我們用S1和S2表示兩個波源,P表示空間任意一點。

          當振源的振動方向相同時,令振源S1的振動方程為y1 = A1cosωt ,振源S1的振動方程為y2 = A2cosωt ,則在空間P點(距S1為r1 ,距S2為r2),兩振源引起的分振動分別是

          y1′= A1cos〔ω(t ? )〕

          y2′= A2cos〔ω(t ? )〕

          P點便出現(xiàn)兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題(φ1 =  ,φ2 = ),且初相差Δφ= (r2 – r1)。根據(jù)前面已經(jīng)做過的討論,有

          r2 ? r1 = kλ時(k = 0,±1,±2,…),P點振動加強,振幅為A1 + A2 ;

          r2 ? r1 =(2k ? 1)時(k = 0,±1,±2,…),P點振動削弱,振幅為│A1-A2│。

          4、波的反射、折射和衍射

          知識點和高考要求相同。

          5、多普勒效應(yīng)

          當波源或者接受者相對與波的傳播介質(zhì)運動時,接收者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況(在討論中注意:波源的發(fā)波頻率f和波相對介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的)——

          a、只有接收者相對介質(zhì)運動(如圖3所示)

          設(shè)接收者以速度v1正對靜止的波源運動。

          如果接收者靜止在A點,他單位時間接收的波的個數(shù)為f ,

          當他迎著波源運動時,設(shè)其在單位時間到達B點,則= v1 ,、

          在從A運動到B的過程中,接收者事實上“提前”多接收到了n個波

          n = 

          顯然,在單位時間內(nèi),接收者接收到的總的波的數(shù)目為:f + n = f ,這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f。即

          f

          顯然,如果v1背離波源運動,只要將上式中的v1代入負值即可。如果v1的方向不是正對S ,只要將v1出正對的分量即可。

          b、只有波源相對介質(zhì)運動(如圖4所示)

          設(shè)波源以速度v2正對靜止的接收者運動。

          如果波源S不動,在單位時間內(nèi),接收者在A點應(yīng)接收f個波,故S到A的距離:= fλ 

          在單位時間內(nèi),S運動至S′,即= v2 。由于波源的運動,事實造成了S到A的f個波被壓縮在了S′到A的空間里,波長將變短,新的波長

          λ′= 

          而每個波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ,故“被壓縮”的波(A接收到的波)的頻率變?yōu)?/p>

          f2 = 

          當v2背離接收者,或有一定夾角的討論,類似a情形。

          c、當接收者和波源均相對傳播介質(zhì)運動

          當接收者正對波源以速度v1(相對介質(zhì)速度)運動,波源也正對接收者以速度v2(相對介質(zhì)速度)運動,我們的討論可以在b情形的過程上延續(xù)…

          f3 =  f2 = 

          關(guān)于速度方向改變的問題,討論類似a情形。

          6、聲波

          a、樂音和噪音

          b、聲音的三要素:音調(diào)、響度和音品

          c、聲音的共鳴

          第二講 重要模型與專題

          一、簡諧運動的證明與周期計算

          物理情形:如圖5所示,將一粗細均勻、兩邊開口的U型管固定,其中裝有一定量的水銀,汞柱總長為L 。當水銀受到一個初始的擾動后,開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力,試證明汞柱做簡諧運動,并求其周期。

          模型分析:對簡諧運動的證明,只要以汞柱為對象,看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①,值得注意的是,回復(fù)力系指振動方向上的合力(而非整體合力)。當簡諧運動被證明后,回復(fù)力系數(shù)k就有了,求周期就是順理成章的事。

          本題中,可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ,則次瞬時的回復(fù)力

          ΣF = ρg2xS = x

          由于L、m為固定值,可令: = k ,而且ΣF與x的方向相反,故汞柱做簡諧運動。

          周期T = 2π= 2π

          答:汞柱的周期為2π 。

          學生活動:如圖6所示,兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置,繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動,在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ,且木板放置時,重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動,并求木板運動的周期。

          思路提示:找平衡位置(木板重心在兩滾輪中央處)→ú力矩平衡和Σ?F6= 0結(jié)合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…

          答案:木板運動周期為2π 。

          鞏固應(yīng)用:如圖7所示,三根長度均為L = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿,構(gòu)成一正三角形框架ABC,C點懸掛在一光滑水平軸上,整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿AB是一導軌,一電動松鼠可在導軌上運動,F(xiàn)觀察到松鼠正在導軌上運動,而框架卻靜止不動,試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。

          解說:由于框架靜止不動,松鼠在豎直方向必平衡,即:松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ,即:

          N = mg                            ①

          再回到框架,其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點為轉(zhuǎn)軸,形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ,它們合力矩為零,即:

          MN = Mf

          現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個一般位置(如圖7,設(shè)它在導軌方向上距C點為x),上式即成:

          N·x = f·Lsin60°                 ②

          解①②兩式可得:f = x ,且f的方向水平向左。

          根據(jù)牛頓第三定律,這個力就是松鼠在導軌方向上的合力。如果我們以C在導軌上的投影點為參考點,x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素,松鼠的合力與位移滿足關(guān)系——

          = -k

          其中k =  ,對于這個系統(tǒng)而言,k是固定不變的。

          顯然這就是簡諧運動的定義式。

          答案:松鼠做簡諧運動。

          評說:這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題,問法比較模糊。如果理解為定性求解,以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件,所以做進一步的定量運算也是有必要的。譬如,我們可以求出松鼠的運動周期為:T = 2π = 2π = 2.64s 。

          二、典型的簡諧運動

          1、彈簧振子

          物理情形:如圖8所示,用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個質(zhì)量為m的小球,置于傾角為θ

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          如圖所示,在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的半圓形圓柱截面,用輕質(zhì)不可伸長的細繩連接的A、B兩球,懸掛在圓柱面邊緣兩側(cè),A球質(zhì)量為B球質(zhì)量的2倍,現(xiàn)將A球從圓柱邊緣外由靜止釋放,已知A始終不離開球面,且細繩足夠長,圓柱固定.若不計一切摩擦.求:

          (1)A球沿圓柱截面滑至最低點時速度的大;

          (2)A球沿圓柱截面運動的最大位移.

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          B(選修模塊 3 一4)
          ( l )一個擺長為 L 的單擺做簡諧運動,若從某時刻開始計時(取t=0),當 t=時,擺球具有負向最大加速度,則單擺的位移 x 隨時間 t 變化的圖象(如圖1)是______.

          ( 2 )如圖2所示為一列簡諧波在 tl=0 時刻的圖象,此時波中質(zhì)點 M 的運動方向沿y軸正方向,到 t2=0.65s 時質(zhì)點 M 恰好第 4 次到達y軸正方向最大位移處,則該波的傳播方向為______,波速為______m/s.
          ( 3 )一組平行的細激光束,垂直于半圓柱玻璃的平面射到半圓柱玻璃上,如圖3所示.已知光線 I 沿直線穿過玻璃,它的入射點是O,光線Ⅱ的入射點為 A,穿過玻璃后兩條光線交于一點.已知玻璃截面的圓半徑為 R,0A=,玻璃的折射率n=.求兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離.

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          選做題
          B、(選修模塊3-4)
          (1)下列說法中正確的是:______
          A、水面上的膜在陽光照射下會呈現(xiàn)彩色,這是由于光的干涉造成的色散現(xiàn)象
          B、根據(jù)麥克斯韋的電磁場理論可知,變化的電場周圍一定可以產(chǎn)生穩(wěn)定的磁場
          C、相對論認為,相對于任何參考系,光速都是一樣的
          D、在測定單擺周期時,為減小實驗誤差,最好在小球經(jīng)過最大位移處時開始計時
          (2)一列簡諧橫波沿x軸傳播,圖甲是t=3s時的波形圖,圖乙是波上x=2m處質(zhì)點的振動圖線.則該橫波的速度為______m/s,傳播方向為______.

          (3)半徑為R的半圓柱形玻璃,橫截面如圖所示,O為圓心,已知玻璃的折射率為,當光由玻璃射向空氣時,發(fā)生全反射的臨界角為多大?一束與MN平面成45的平行光束射到玻璃的半圓柱面上,經(jīng)玻璃折射后,有部分光能從MN平面上射出.則從MN射出的光束的寬度為多少?
          C、(選修模塊3-5)
          (1)以下有關(guān)近代物理內(nèi)容的若干敘述中,正確的是:______
          A、一束光照射到某金屬表面時,能發(fā)生光電效應(yīng),此時若減弱照射光的強度,則很有可能不能發(fā)生光電效應(yīng)
          B、物質(zhì)波既是一種電磁波,又是一種概率波
          C、氫原子的核外電子由較高能級躍遷到較低能級時,要釋放一定頻率的光子,同時電子的動能增加,電勢能減小
          D、在核聚變反應(yīng)中,由于要釋放能量,發(fā)生質(zhì)量虧損,所以聚變后的原子的總質(zhì)量數(shù)要減少
          (2)第一代核反應(yīng)堆以鈾235為裂變?nèi)剂,而在天然鈾中?9%的鈾238不能被利用,為了解決這個問題,科學家們研究出快中子增殖反應(yīng)堆,使鈾238變成高效核燃料.在反應(yīng)堆中,使用的核燃料是钚239,裂變時釋放出快中子,周圍的鈾238吸收快呂子后變成鈾239,鈾239(92239U)很不穩(wěn)定,經(jīng)過______次β次衰變后變成钚239(94239Pu),寫出該過程的核反應(yīng)方程式:______.
          (3)如圖所示,位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q都可視為質(zhì)點,質(zhì)量分別為m和3m.Q與輕彈簧相連,若Q靜止,P以某一速度v向Q運動,并與彈簧發(fā)生碰撞.求P、Q速度相等時兩者的速度是多大?此時彈簧彈性勢能多大?


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          B(選修模塊 3 一4)
          ( l )一個擺長為 L 的單擺做簡諧運動,若從某時刻開始計時(取t=0),當 t=
          2
          L
          g
          時,擺球具有負向最大加速度,則單擺的位移 x 隨時間 t 變化的圖象(如圖1)是
           

          精英家教網(wǎng)
          ( 2 )如圖2所示為一列簡諧波在 tl=0 時刻的圖象,此時波中質(zhì)點 M 的運動方向沿y軸正方向,到 t2=0.65s 時質(zhì)點 M 恰好第 4 次到達y軸正方向最大位移處,則該波的傳播方向為
           
          ,波速為
           
          m/s.
          ( 3 )一組平行的細激光束,垂直于半圓柱玻璃的平面射到半圓柱玻璃上,如圖3所示.已知光線 I 沿直線穿過玻璃,它的入射點是O,光線Ⅱ的入射點為 A,穿過玻璃后兩條光線交于一點.已知玻璃截面的圓半徑為 R,0A=
          R
          2
          ,玻璃的折射率n=
          3
          .求兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離.

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