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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點(diǎn)使得BC=5，求線段AB的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣

2 2 - 2 2 2 2 2 2

對應(yīng)的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）和曲線C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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若數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，b₁=b，

an=-2an-1+4bn-1 bn=-5an-1+7bn-1

，（n∈N，n≥2）．請按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來求a_m，b_m的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的

ACD

ACD

（請?zhí)畛鋈�部答案�?BR>A、B、
C、D、

（2）我們可證明當(dāng)a≠b，5a≠4b時，{a_n-b_n}及{5a_n-4b_n}均為等比數(shù)列，請按答紙題要求，完成一個問題證明，并填空．
證明：{a_n-b_n}是等比數(shù)列，過程如下：a_n-b_n=（-2a_n-1+4b_n-1）+（5a_n-1-7b_n-1）=3a_n-1-3b_n-1=3（a_n-1-b_n-1）
所以{a_n-b_n}是以a₁-b₁=a-b≠0為首項(xiàng)，以

3

3

為公比的等比數(shù)列；
同理{5a_n-4b_n}是以5a₁-4b₁=5a-4b≠0為首項(xiàng)，以

2

2

為公比的等比數(shù)列
（3）若將a_n，b_n寫成列向量形式，則存在矩陣A，使

an bn

=A

an-1 bn-1

=A(A

an-2 bn-2

)=A2

an-2 bn-2

=…=An-1

a1 b1

，請回答下面問題：
①寫出矩陣A=

-2 4 -5 7

-2 4 -5 7

；  ②若矩陣B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ，矩陣C_n=PB_nQ，其中矩陣C_n只有一個元素，且該元素為B_n中所有元素的和，請寫出滿足要求的一組P，Q：

P=

1   1

，Q=

1 1

P=

1   1

，Q=

1 1

； ③矩陣C_n中的唯一元素是

2ⁿ⁺²-4

2ⁿ⁺²-4

．
計(jì)算過程如下：

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一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。

（1）A   （2）C          （3）A          （4）B          （5）C          （6）C

（7）A   （8）D          （9）B          （10）D

二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分16分。

（11）-1        （12）              （13）4     （14）

（１）   設(shè)集合≤x≤2},B={x|0≤x≤4},則A∩B=A

(A)［0,2］           (B)［1,2］            (C)［0,4］           (D)［1,4］

【考點(diǎn)分析】本題考查集合的運(yùn)算，基礎(chǔ)題。

解析：，故選擇A。

【名師點(diǎn)拔】集合是一個重要的數(shù)學(xué)語言，注意數(shù)形結(jié)合。

（２）   已知C

(A)           (B)           (C)              (D)

【考點(diǎn)分析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，基礎(chǔ)題。

解析：，由、是實(shí)數(shù)，得

∴，故選擇C。

【名師點(diǎn)拔】一個復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0。

(3)已知，則A

(A)1＜n＜m            (B) 1＜m＜n             (C)m＜n＜1       (D) n＜m＜1

【考點(diǎn)分析】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基礎(chǔ)題。

解析：由知函數(shù)為減函數(shù)，由得

，故選擇A。

（4）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是B

【考點(diǎn)分析】本題考查簡單的線性規(guī)劃的可行域、三角形的面積。

解析：由題知可行域?yàn)椋?/p>

 ，故選擇B。

【名師點(diǎn)拔】

（5）若雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的，則C

(A)            (B)           (C)             (D)

【考點(diǎn)分析】本題考查雙曲線的第二定義，基礎(chǔ)題。

解析：由題離心率，由雙曲線的第二定義知

，故選擇C。

【名師點(diǎn)拔】本題在條件中有意識的將雙曲線第二定義“到左焦點(diǎn)距離與到左準(zhǔn)線的距離是定值”中比的前后項(xiàng)顛倒為“到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的”，如本題改為填空題，沒有了選擇支的提示，則難度加大。

（6）函數(shù)的值域是C

(A)［-,］  (B)［-,］   (C)［］  (D)［］

【考點(diǎn)分析】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，基礎(chǔ)題。

解析：，故選擇C。

【名師點(diǎn)拔】本題是求有關(guān)三角函數(shù)的值域的一種通法，即將函數(shù)化為

或的模式。

(7)“”是“”的A

(A)充分而不必要條件       　　　　　     (B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件　　　　　　              (D)既不允分也不必要條件

【考點(diǎn)分析】本題考查平方不等式和充要條件，基礎(chǔ)題。

解析：由能推出；但反之不然，因此平方不等式的條件是。

【名師點(diǎn)拔】

（8）若多項(xiàng)式D

(A)9            (B)10           (C)－9             (D)－10

【考點(diǎn)分析】本題考查二項(xiàng)式展開式的特殊值法，基礎(chǔ)題。

解析：令，得，

令，得

（9）如圖，O是半徑為l的球心，點(diǎn)A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離是B

(A)   　　　(B)    (C)         (D)

【考點(diǎn)分析】本題考查球面距的計(jì)算，基礎(chǔ)題。

解析：如圖，

∴

∴，∴點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為

故選擇B。

【名師點(diǎn)拔】兩點(diǎn)球面距的計(jì)算是立體幾何的一個難點(diǎn)，其通法的關(guān)鍵是求出兩點(diǎn)的球面角，而求球面角又需用余弦定理。

（10）函數(shù)滿足，則這樣的函數(shù)個數(shù)共有D

(A)1個            (B)4個           (C)8個             (D)10個

【考點(diǎn)分析】本題考查抽象函數(shù)的定義，中檔題。

解析：即

（11）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若,則公差為　－1　　（用數(shù)字作答）。

【考點(diǎn)分析】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，基礎(chǔ)題。

解析：設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由題得

【名師點(diǎn)拔】數(shù)學(xué)問題解決的本質(zhì)是，你已知什么？從已知出發(fā)又能得出什么？完成了這些，也許水到渠成了。本題非�；�礎(chǔ)，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的運(yùn)用自然而然的就得出結(jié)論。

（12）對,記函數(shù)的最小值是　　.

【考點(diǎn)分析】本題考查新定義函數(shù)的理解、解絕對值不等式，中檔題。

，其圖象如右，

則。

【名師點(diǎn)拔】數(shù)學(xué)中考查創(chuàng)新思維，要求必須要有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（13）設(shè)向量滿足 b,若,則的值是　　4　。

【考點(diǎn)分析】本題考查向量的代數(shù)運(yùn)算，基礎(chǔ)題。

解析：

【名師點(diǎn)拔】向量的模轉(zhuǎn)化為向量的平方，這是一個重要的向量解決思想。

（14）正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是　　　.

三、解答題

（15）本題主要考查三角函數(shù)的圖像，已知三角函數(shù)求角，向量夾角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算能力。滿分14分。

解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)圖像過點(diǎn)，

所以即

因?yàn)�，所�?

（II）由函數(shù)及其圖像，得

所以從而

              ，

故.

（16）本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識。滿分14分。

證明：（I）因?yàn)椋?/p>

所以.

由條件，消去，得

；

由條件，消去，得

，.

故.

（II）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

在的兩邊乘以，得

.

又因?yàn)?/p>

而

所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根。

故方程在內(nèi)有兩個實(shí)根.

（17）本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力。滿分14分。

解：方法一：

（I）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，

所以.

因?yàn)槠矫妫�所�?/p>

，

從而平面.

因?yàn)槠矫妫?/p>

所以.

（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，

則，

所以與平面所成的角和與平面所成的角相等.

因?yàn)槠矫妫?/p>

所以是與平面所成的角.

在中，

.

故與平面所成的角是.

方法二：

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

.

（I）  因?yàn)?/p>

，

所以

（II）  因?yàn)?/p>

，

所以，

又因?yàn)椋?/p>

所以平面

因此的余角即是與平面所成的角.

因?yàn)?/p>

，

所以與平面所成的角為.

（18）本題主要考察排列組合、概率等基本知識，同時考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。滿分14分。

解：（I）記“取到的4個球全是紅球”為事件.

（II）記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件，“取到的4個球只有1個紅球”為事件，“取到的4個球全是白球”為事件.

由題意，得

所以

，

化簡，得

解得，或（舍去），

故  .

（19）本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。

解：（I）過點(diǎn)、的直線方程為

因?yàn)橛深}意得                  有惟一解，

即有惟一解，

所以

   （），

故 

又因?yàn)?即 

所以 

從而得 

故所求的橢圓方程為    

（II）由（I）得 

故

從而

                 由

解得

所以

因?yàn)?/p>

又得

因此

（20）本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。滿分14分。

證明：（I）因?yàn)?/p>

所以曲線在處的切線斜率

因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是

所以.

（II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時單調(diào)遞增，

而

，

所以，即

因此

又因?yàn)?/p>

令

則

因?yàn)?/p>

所以

因此

故