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        1. 4.若“ .則函數(shù)=在區(qū)間上為增函數(shù),而若在區(qū)間上為增函數(shù).則0≤a≤1.所以“ 是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù) 的充分不必要條件.選A. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

          (1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

          (2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

          【解析】解:.

          單調(diào)遞減;當單調(diào)遞增,故當時,取最小值

          于是對一切恒成立,當且僅當.       、

          時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.

          故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.

          綜上所述,的取值集合為.

          (Ⅱ)由題意知,

          ,則.當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.故當,

          從而

          所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

          【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.

           

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          已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

          (Ⅰ)求實數(shù)的值; 

          (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

          (Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

          【解析】第一問當時,,則

          依題意得:,即    解得

          第二問當時,,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

          第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

          (Ⅰ)當時,,則。

          依題意得:,即    解得

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

          ①當時,,令

          變化時,的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調(diào)遞減

          極小值

          單調(diào)遞增

          極大值

          單調(diào)遞減

          ,,!上的最大值為2.

          ②當時, .當時, ,最大值為0;

          時, 上單調(diào)遞增!最大值為。

          綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

          時,即時,在區(qū)間上的最大值為。

          (Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

          ,則代入(*)式得:

          ,而此方程無解,因此。此時,

          代入(*)式得:    即   (**)

           ,則

          上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

          ∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

          因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

           

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          已知函數(shù).(

          (1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;

          (2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.

          【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立,然后分離參數(shù)法得到,進而得到范圍;第二問中,在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.然后求解得到。

          解:(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

          在區(qū)間上恒成立.  …………3分

          ,而當時,,故. …………5分

          所以.                 …………6分

          (2)令,定義域為

          在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.   

                  …………9分

          ① 若,令,得極值點,,

          ,即時,在(,+∞)上有,此時在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;

          ,即時,同理可知,在區(qū)間上遞增,

          ,也不合題意;                     …………11分

          ② 若,則有,此時在區(qū)間上恒有,從而在區(qū)間上是減函數(shù);

          要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,

          由此求得的范圍是.        …………13分

          綜合①②可知,當時,函數(shù)的圖象恒在直線下方.

           

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          已知函數(shù),.

          (Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;

          (Ⅱ)若存在實數(shù),使對任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

          【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

          第二問中,利用存在實數(shù),使對任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。

          解:(1)

          (2)不等式 ,即,即.

          轉(zhuǎn)化為存在實數(shù),使對任意的,不等式恒成立.

          即不等式上恒成立.

          即不等式上恒成立.

          設(shè),則.

          設(shè),則,因為,有.

          在區(qū)間上是減函數(shù)。又

          故存在,使得.

          時,有,當時,有.

          從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.

          [來源:]

          所以當時,恒有;當時,恒有;

          故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

           

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          (本小題滿分12分)已知函數(shù)

          (I)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;

          (II)當時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

          (Ⅲ)求證:解:(1),其定義域為,則,

          ,

          時,;當時,

          在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

          即當時,函數(shù)取得極大值.                                       (3分)

          函數(shù)在區(qū)間上存在極值,

           ,解得                                            (4分)

          (2)不等式,即

          (6分)

          ,則

          ,即上單調(diào)遞增,                          (7分)

          ,從而,故上單調(diào)遞增,       (7分)

                    (8分)

          (3)由(2)知,當時,恒成立,即,

          ,則,                               (9分)

                                                                                 (10分)

          以上各式相加得,

          ,

                                     

                                                  (12分)

          。

           

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