題目列表(包括答案和解析)
已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.
如圖所示，已知兩個正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高都是2，AB＝4．
(1)證明PQ⊥平面ABCD；
(2)求異面直線AQ與PB所成的角；
(3)求點P到平面QAD的距離．
1－10：DCDAABCBCDC
11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .
1．函數(shù)的定義域是，解得x≥1，選D.
2．向量若時，∥，∴ ；時，，，選C.
3．的展開式中的系數(shù)=x3， 則實數(shù)的值是2，選D
4．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是R=1，該截面的面積是π，選A.
5．若“”，則函數(shù)=在區(qū)間上為增函數(shù)；而若在區(qū)間上為增函數(shù)，則0≤a≤1，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，選A.
6．在數(shù)字1，2，3與符號“＋”，“－”五個元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B.
7．圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.
8．設點P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，∴ 最小正周期為π，選B.
9．過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯(lián)立方程組代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選D.
10．如圖，OM∥AB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，
由圖知，x<0，當x=－時，即=－，P點在線段DE上，=，=，而<<，∴ 選C.
二．填空題：
11.； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .
11．數(shù)列滿足：，2，3…，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，∴ .
12．某高校有甲、乙兩個數(shù)學建模興趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學建模興趣班的平均成績是分.
13．已知，如圖畫出可行域，得交點A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5.
14．過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有6條。
15．是偶函數(shù)，取a=－3，可得為偶函數(shù)。
16. 解 由已知條件得.
即.
解得.
由0＜θ＜π知，從而.
17. 解�。á瘢┟考颐旱V必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的. 所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.
（Ⅱ）解法一 某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而煤礦不被關(guān)閉的概率是0.90.
解法二 某煤礦不被關(guān)閉包括兩種情況：（i）該煤礦第一次安檢合格；（ii）該煤礦第一次安檢不合格，但整改后合格.
所以該煤礦不被關(guān)閉的概率是.
(Ⅲ)由題設（Ⅱ）可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9，且每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，所以到少關(guān)閉一家煤礦的概率是.
18. 解法一�。á瘢┻B結(jié)AC、BD，設.
由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
所以
于是.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），點D的坐標是（0，－，0），，
，設是平面QAD的一個法向量，由
得.
取x=1，得.
所以點P到平面QAD的距離.
解法二�。á瘢┤D的中點，連結(jié)PM，QM.
因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，
所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
因為OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.
從而∠BPC（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角.
因為，
所以.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)連結(jié)OM，則.
所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長是點P到平面QAD的距離.
在直角△PMO中，.
即點P到平面QAD的距離是.
19. 解�。á瘢┯深}設知.
令.
當（i）a>0時，
若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
（i i）當a＜0時，
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).
（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.
因為線段AB與x軸有公共點，所以.
即.所以.
故.
解得�。�1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].
20. 解 （Ⅰ）由已知得，
.
（Ⅱ）因為，
所以.
又因為，
所以
=.
綜上，.
21. 解�。á瘢┊擜B⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為
x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）.
因為點A在拋物線上，所以，即.
此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.
（Ⅱ）解法一 當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為.
由消去y得. ……①
設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.
所以，且
.
從而.
所以，即.
解得.
因為C2的焦點在直線上，所以.
即.
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為.
解法二 當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程
為.
由消去y得. ……①
因為C2的焦點在直線上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.
從而＝. 解得.
因為C2的焦點在直線上，所以.
即.
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為.
解法三 設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……②
且直線AB的方程是,
所以. ……③
又因為，所以. ……④
將①、②、③代入④得，即.
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為.
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