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          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          通過計(jì)算可得下列等式：
          22-12=2×1+1；
          32-22=2×2+1；
          42-32=2×3+1；
          …；
          （n+1）2-n2=2n+1
          將以上各式相加得：（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n
          所以可得：1+2+3+…+n=
          n(n+1)
          2
          ．
          類比上述求法：請你求出13+23+33+…+n3的值．（提示：12+22+32+…+n2=
          n(n+1)(2n+1)
          6
          ）
          

			
          
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          （Ⅰ）求證：
          C
          m
          n
          =
          n
          m
          C
          m-1
          n-1
          ；
          （Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；   
          （Ⅲ）其實(shí)我們常借用構(gòu)造等式，對同一個(gè)量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
          (1+x)[1-(1+x)n]
          1-(1+x)
          =
          (1+x)n+1-(1+x)
          x
          ；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．
          

			
          
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          用數(shù)學(xué)歸納法證明“
          		n2+n
          ＜n+1 （n∈N*）”．第二步證n=k+1時(shí)（n=1已驗(yàn)證，n=k已假設(shè)成立），這樣證明：
          		(k+1)2+(k+1)
          =
          		k2+3k+2
          ＜
          		k2+4k+4
          =（k+1）+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題正確．此種證法（　�。�
          

			
          
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          某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明＜n+1(n∈N)”的過程如下:
          證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),顯然命題是正確的;(2)假設(shè)n=k時(shí)有＜k+1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題是正確的,由(1)(2)可知對于n∈N,命題都是正確的.以上證法是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤在于(    )
          A.當(dāng)n=1時(shí),驗(yàn)證過程不具體
          B.歸納假設(shè)的寫法不正確
          C.從k到k+1的推理不嚴(yán)密
          D.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)
          

			
          
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          已知函數(shù)的最小值為0，其中
          


          （Ⅰ）求的值；
          


          （Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
          


          （Ⅲ）證明（）.
          


          【解析】(1)解：
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
          


          


          由，得
          


          當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：
          


          
 
          
  
  
          x
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          -
          
            		
  
  
          0
          
            		
  
  
          +
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          極小值
          
            		
  
  
          
            		
 
          

          


          因此，在處取得最小值，故由題意，所以
          


          （2）解：當(dāng)時(shí)，取，有，故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí)，令，即
          


          


          令，得
          


          ①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.
          


          ②當(dāng)時(shí)，，對于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，，即不成立.
          


          故不合題意.
          


          綜上，k的最小值為.
          


          （3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.
          


          當(dāng)時(shí)，
          


                                

          


                                

          


          在（2）中取，得 ，
          


          從而
          


          所以有
          


               

          


               

          


               

          


               

          


                

          


          綜上，，
          


           
          

			
          
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