題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數(shù)學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
繼薩凱里之后，大概又過了半個世紀．歐洲“數(shù)學之王”高斯的至友匈牙利數(shù)學家伏爾夫剛·鮑里埃，終身從事證明“第五公設”的研究，由于心血耗盡，毫無成效，便懷著沉重的心情，給那酷愛數(shù)學的兒子亞諾什·鮑耶(1802～1860)寫信，希望小鮑耶“不要再做克服平行公理的嘗試”．他忠告兒子說：“投身于這一貪得無度地吞人們的智慧、精力和心血的無底洞，白花時間在上面，一輩子也證不出這個命題來．”他滿腹心酸地寫到：“我經(jīng)過了這個毫無希望的夜的黑暗，我在這里面埋沒了人生的一切亮光、一切歡樂和一切希望．”最后告誡自己心愛的兒子說：“若再癡戀這一無止無休的勞作，必然會剝奪你生活的一切時間、健康、休息和幸福！”但是，年僅21歲的小鮑耶卻是敢向“無底洞”覓求真知的探索者．他認真吸取前人失敗的教訓，初出茅廬就大顯身手．小鮑耶匠心獨運，大膽創(chuàng)新，決然將“第五公設”換成他自身的否定．從“三角形三個內(nèi)角和小于180°”這一令人瞠目結(jié)舌的假設出發(fā)，建立起一套完整協(xié)調(diào)、天衣無縫的新幾何體系．小鮑耶滿懷激情地將自己的科學創(chuàng)見向父親報捷．老伏爾夫剛以之見教于至友高斯，不久，高斯復信鮑里埃，信中寫到：“如果我一開始便說我不能稱贊這樣的成果，你一定會感到驚訝．但是，我不能不這樣說，因為稱贊這些成果就等于稱贊我自己．令郎的這些工作，他走過的路，以及所獲得的成果，跟我過去30年至35年前的所思所得幾乎一模一樣．”高斯在回信結(jié)尾還開誠布公地提到：“我自己的著作，盡管寫好的只是一部分，我本來也想發(fā)表，因為我怕引某些人的喊聲，現(xiàn)在，有了朋友的兒子能夠這樣寫下來，免得他與我一樣湮沒，那是使我非常高興的．”這位當代數(shù)學大師恐怕做夢也沒想到，他這封推心置腹的信，竟會一舉撞毀初露鋒芒的數(shù)壇新星！
高斯的復信給小鮑耶帶來意想不到的毀滅性打擊．躊躇滿志的鮑耶誤認為高斯動用自己擁有的崇高權(quán)威來壟斷和奪取這一新體系的發(fā)明優(yōu)先權(quán)．為此，他痛心疾首，認為自己心血澆灌出來的成果和嘔心瀝血的辛勤工作，竟得不到大家的理解、支持和同情．于是郁郁寡歡，大失所望，發(fā)誓拋棄了一切數(shù)學研究．
1．對于“數(shù)學之王”高斯給鮑耶的回信，你有什么看法呢？如果你是高斯，你該怎樣回信？
2．躊躇滿志的鮑耶誤認為“高斯動用自己擁有的崇高權(quán)威來壟斷和奪取這一新體系的發(fā)明優(yōu)先權(quán)”，進而“郁郁寡歡，大失所望，發(fā)誓拋棄了一切數(shù)學研究”．你又有何看法呢？假如你是鮑耶，你又該怎么做呢？
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