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        1. (?)假設(shè)當(dāng)時.結(jié)論成立.即. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          在數(shù)列中,

          (Ⅰ)求、、并推測

          (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

          【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知,、、,猜想可得

          第二問中,①當(dāng)時,=,又,猜想正確

          ②假設(shè)當(dāng)時猜想成立,即,

          當(dāng)時,

          =

          =,即當(dāng)時猜想也成立

          兩步驟得到。

          (2)①當(dāng)時,=,又,猜想正確

          ②假設(shè)當(dāng)時猜想成立,即,

          當(dāng)時,

          =

          =,即當(dāng)時猜想也成立

          由①②可知,對于任何正整數(shù)都有成立

           

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          已知,(其中

          ⑴求

          ⑵試比較的大小,并說明理由.

          【解析】第一問中取,則;                         …………1分

          對等式兩邊求導(dǎo),得

          ,則得到結(jié)論

          第二問中,要比較的大小,即比較:的大小,歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時,;

          當(dāng)時,;

          當(dāng)時,;

          猜想:當(dāng)時,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

          解:⑴取,則;                         …………1分

          對等式兩邊求導(dǎo),得,

          ,則。       …………4分

          ⑵要比較的大小,即比較:的大小,

          當(dāng)時,;

          當(dāng)時,;

          當(dāng)時,;                              …………6分

          猜想:當(dāng)時,,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

          由上述過程可知,時結(jié)論成立,

          假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立,即,

          當(dāng)時,

          時結(jié)論也成立,

          ∴當(dāng)時,成立。                          …………11分

          綜上得,當(dāng)時,;

          當(dāng)時,;

          當(dāng)時, 

           

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          已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中

          (Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;

          (Ⅱ) 設(shè) (N*).

          ①證明:

          ② 求證:.

          【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于

          所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

          解:(Ⅰ)當(dāng)時,由.  ……2分

          若存在

          從而有,與矛盾,所以.

          從而由.  ……6分

           (Ⅱ)①證明:

          證法一:∵

           

          .…………10分

          證法二:,下同證法一.           ……10分

          證法三:(利用對偶式)設(shè)

          .又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即

                              ………10分

          證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時, ,命題成立;

             ②假設(shè)時,命題成立,即,

             則當(dāng)時,

              即

          故當(dāng)時,命題成立.

          綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

          ②由于,

          所以,

          從而.

          也即

           

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          已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

          (1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

          (2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

          【解析】解:.

          當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增,故當(dāng)時,取最小值

          于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).        ①

          當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.

          故當(dāng)時,取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,①式成立.

          綜上所述,的取值集合為.

          (Ⅱ)由題意知,

          ,則.當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.故當(dāng),

          從而,

          所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

          【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

           

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