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如圖甲所示，一寬度為L且足夠長的光滑“匚”形金屬導(dǎo)軌水平放置在勻強(qiáng)磁場中，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下，“匚”形金屬導(dǎo)軌上連接一阻值為R的電阻．一質(zhì)量為m長為L的導(dǎo)體棒，剛好橫跨在導(dǎo)軌上．現(xiàn)導(dǎo)體棒在水平恒力F作用下從靜止開始向右運(yùn)動，當(dāng)棒獲得某一最大速度時立即撤掉水平恒力F．設(shè)導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌接觸并且不分離，導(dǎo)軌和金屬桿的電阻不計．

（1）求出棒的加速度a和速度v的關(guān)系式，并分析棒的運(yùn)動情況．
（2）當(dāng)撤掉水平恒力F后，求系統(tǒng)產(chǎn)生的電能．
（3）在圖乙上畫出棒的a-v圖線．（要求標(biāo)上有關(guān)坐標(biāo)）

在高能物理研究中，粒子加速器起著重要作用，而早期的加速器只能使帶電粒子在高壓電場中加速一次，因而粒子所能達(dá)到的能量受到高壓技術(shù)的限制。1930年，Earnest O. Lawrence提出了回旋加速器的理論，他設(shè)想用磁場使帶電粒子沿圓弧形軌道旋轉(zhuǎn)，多次反復(fù)地通過高頻加速電場，直至達(dá)到高能量。圖甲為Earnest O. Lawrence設(shè)計的回旋加速器的示意圖。它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成，兩個D形盒正中間開有一條狹縫；兩個D型盒處在勻強(qiáng)磁場中并接有高頻交變電壓。圖乙為俯視圖，在D型盒上半面中心S處有一正離子源，它發(fā)出的正離子，經(jīng)狹縫電壓加速后，進(jìn)入D型盒中。在磁場力的作用下運(yùn)動半周，再經(jīng)狹縫電壓加速；為保證粒子每次經(jīng)過狹縫都被加速，應(yīng)設(shè)法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運(yùn)動的周期一致。如此周而復(fù)始，最后到達(dá)D型盒的邊緣，獲得最大速度后被束流提取裝置提取出。已知正離子的電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時電極間電壓大小恒為U，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D型盒的半徑為R，狹縫之間的距離為d。設(shè)正離子從離子源出發(fā)時的初速度為零。
（1）試計算上述正離子從離子源出發(fā)被第一次加速后進(jìn)入下半盒中運(yùn)動的軌道半徑；
（2）盡管粒子在狹縫中每次加速的時間很短但也不可忽略。試計算上述正離子在某次加速過程當(dāng)中從離開離子源到被第n次加速結(jié)束時所經(jīng)歷的時間；
（3）不考慮相對論效應(yīng)，試分析要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動能可采用的措施。