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        1. 解:原不等式等價(jià)于3×4x>2×6x>()x=()x,x<1 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知函數(shù)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍.

          【解析】第一問(wèn)中,當(dāng)時(shí),,.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判定單調(diào)性和極值,進(jìn)而得到最值。

          第二問(wèn)中,∵,,      

          ∴原不等式等價(jià)于:,

          , 亦即

          分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

          解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),

          當(dāng)上變化時(shí),,的變化情況如下表:

           

           

          1/e

          時(shí),,

          (Ⅱ)∵,      

          ∴原不等式等價(jià)于:,

          , 亦即

          ∴對(duì)于任意的,原不等式恒成立,等價(jià)于對(duì)恒成立,

          ∵對(duì)于任意的時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

          ∴只需,即,解之得.

          因此,的取值范圍是

           

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          已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

          (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

          (2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.

          【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用設(shè)數(shù)列公差為

          由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問(wèn)中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

          解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,

          解得(舍去).      …………3分

          所以,.        …………6分

          (2)不等式等價(jià)于

          當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;

          ,所以猜想,的最小值為.     …………8分

          下證不等式對(duì)任意恒成立.

          方法一:數(shù)學(xué)歸納法.

          當(dāng)時(shí),,成立.

          假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,

          當(dāng)時(shí),, …………10分

          只要證  ,只要證  ,

          只要證  ,只要證  ,

          只要證  ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分

          方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.

          要證 

          只要證  ,  

          設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,        …………10分

          ,    …………12分

          所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

          ,所以恒成立,

          的最小值為

           

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          給出問(wèn)題:已知滿足,試判定的形狀.某學(xué)生的解答如下:

          解:(i)由余弦定理可得,

          ,

          ,

          ,

          是直角三角形.

          (ii)設(shè)外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價(jià)于

          ,

          是等腰三角形.

          綜上可知,是等腰直角三角形.

          請(qǐng)問(wèn):該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫出解題過(guò)程中主要用到的思想方法;若不正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫出你認(rèn)為本題正確的結(jié)果.           .

           

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          (2012•普陀區(qū)一模)給出問(wèn)題:已知△ABC滿足a•cosA=b•cosB,試判斷△ABC的形狀,某學(xué)生的解答如下:
          (i)a•
          b2+c2-a2
          2bc
          =b•
          a2+c2-b2
          2ac
          ?a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)?(a2-b2)•c2=(a2-b2)(a2+b2)?c2=a2+b2
          故△ABC是直角三角形.
          (ii)設(shè)△ABC外接圓半徑為R,由正弦定理可得,原式等價(jià)于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
          故△ABC是等腰三角形.
          綜上可知,△ABC是等腰直角三角形.
          請(qǐng)問(wèn):該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫出解題過(guò)程中主要用到的思想方法;若不正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫出你認(rèn)為本題正確的結(jié)果
          等腰或直角三角形
          等腰或直角三角形

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          ,則不等式等價(jià)于(  )

          A.      B.

          C.             D.

           

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