題目列表(包括答案和解析)
已知二次函數(shù)
的二次項(xiàng)系數(shù)為
，且不等式
的解集為
,
（1）若方程
有兩個(gè)相等的根，求的解析式；
（2）若
的最大值為正數(shù)，求的取值范圍．
【解析】第一問(wèn)中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后利用判別式得到a的值。
第二問(wèn)中，
解：（1）∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
①
由方程
②
∵方程②有兩個(gè)相等的根，
∴
，
即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5
a=-1/5代入①得：
（2）由
由
解得：
故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是
某地區(qū)對(duì)12歲兒童瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查．瞬時(shí)記憶能力包括聽覺(jué)記憶能力與視覺(jué)記憶能力.某班學(xué)生共有40人，下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺(jué)記憶能力為中等，且視覺(jué)記憶能力偏高的學(xué)生為3人．
|
|
視覺(jué)記憶能力 |
||||
|
偏低 |
中等 |
偏高 |
超常 |
||
|
聽覺(jué) 記憶 能力 |
偏低 |
0 |
7 |
5 |
1 |
|
中等 |
1 |
8 |
3 |
|
|
|
偏高 |
2 |
|
0 |
1 |
|
|
超常 |
0 |
2 |
1 |
1 |
由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)，視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的概率為
．
（I）試確定
、
的值；
（II）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率；
（III）從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為
，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
．
【解析】1）中由表格數(shù)據(jù)可知，視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有（10+a）人．記“視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽覺(jué)記憶能力為中等或中等以上”為事件A，則P(A)=(10+a)/40=2/5，解得a=6．……………2分
所以．b=40-(32+a)=40-38=2答：a的值為6，b的值為2．………………3分
（2）中由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生共有8人．
方法1：記“至少有一位具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，
則“沒(méi)有一位具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件
(3)中由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為
，其中具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為
，………………………7分
所以從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的概率為
，k=0,1,2,3
已知函數(shù)f（x）=
，
為常數(shù)。
（I）當(dāng)=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=
，則f（x）的定義域是
然后求導(dǎo)，
，得到由
，得0＜x＜1；由
，得x＞1；得到單調(diào)區(qū)間。第二問(wèn)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則
或
在區(qū)間[1，2]上恒成立，即即
，或
在區(qū)間[1，2]上恒成立，解得a的范圍。
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，則f（x）的定義域是
。
由，得0＜x＜1；由，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，
上是減函數(shù)�！�6分
（2）
。若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，
則或在區(qū)間[1，2]上恒成立。∴
，或
在區(qū)間[1，2]上恒成立。即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。
又h（x）=
在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)。h（x）max=（2）=
，h（x）min=h（1）=3
即
，或
。 ∴
，或
。
| 1 |
| x+a |
| 1 |
| x+a |
| 1 |
| x+a |
某港口的水深
（米）是時(shí)間
（
，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是每天時(shí)間與水深的關(guān)系表：
|
|
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
|
|
10 |
13 |
9.9 |
7 |
10 |
13 |
10.1 |
7 |
10 |
經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)， 
可近似的看成是函數(shù)
，（本小題滿分14分）
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的解析式。
（2）若船舶航行時(shí)，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪幾段時(shí)間可以安全的進(jìn)出該港？
【解析】第一問(wèn)由表中數(shù)據(jù)可以看到：水深最大值為13，最小值為7，，
∴A+b=13, -A+b=7 解得 A=3, b=10
第二問(wèn)要想船舶安全，必須深度
，即
∴
解得：
得到結(jié)論。
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