題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）在我校值周活動(dòng)中，甲、乙等五名值周生被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名值周生．
(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；
(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；
(3)設(shè)隨機(jī)變量X為這五名值周生中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求X的分布列及期望．
（本小題滿分12分）
為了加快經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某市選擇A、B兩區(qū)作為龍頭帶動(dòng)周邊地區(qū)的發(fā)展，決定在A、B兩區(qū)的周邊修建城際快速通道，假設(shè)A、B兩區(qū)相距
個(gè)單位距離，城際快速通道所在的曲線為E，使快速通道E上的點(diǎn)到兩區(qū)的距離之和為4個(gè)單位距離.
（Ⅰ）以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求城際快速通道所在曲線E的方程；
（Ⅱ）若有一條斜率為
的筆直公路l與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，同時(shí)在曲線E上建一個(gè)加油站M（橫坐標(biāo)為負(fù)值）滿足
,求
面積的最大值．
（本小題滿分12分）
某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點(diǎn)A、B兩地相距100米，
，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚
秒，A地測得該儀器在A、B、C三地位于同一水平面上，至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH（聲音的傳播速度為340米/秒）
（本小題滿分12分）
在一次體操選拔賽中，教練組設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個(gè)系列，每個(gè)系列都有A和B兩個(gè)動(dòng)作．比賽時(shí)每位運(yùn)動(dòng)員自選一個(gè)系列完成，兩個(gè)動(dòng)作得分之和為該運(yùn)動(dòng)員的成績．
假設(shè)每個(gè)運(yùn)動(dòng)員完成每個(gè)系列中的兩個(gè)動(dòng)作的得分是相互獨(dú)立的．根據(jù)賽前訓(xùn)練統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，某運(yùn)動(dòng)員完成甲系列和乙系列的情況如下表：
表1：甲系列 表2：乙系列
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現(xiàn)該運(yùn)動(dòng)員最后一個(gè)出場，之前其他運(yùn)動(dòng)員的最高得分為115分．
（Ⅰ）若該運(yùn)動(dòng)員希望獲得該項(xiàng)目的第一名，應(yīng)選擇哪個(gè)系列？說明理由，并求其獲得第一名的概率；
（Ⅱ）若該運(yùn)動(dòng)員選擇乙系列，求其成績
的分布列及其數(shù)學(xué)期望
．
（本小題滿分12分）
如圖：
正在海上A處執(zhí)行任務(wù)的漁政船甲和在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙，同時(shí)收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時(shí)漁船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°方向的B處，兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓
漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù)，漁政船甲航行30km到達(dá)D處時(shí)，收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行，于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙（漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙），此時(shí)B、D兩處相距42km，問漁政船乙要航行多少距離才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救．
一、選擇題
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空題
13． 14． 15． 16．③④
三、解答題
17．解：（1）將得
（2）不等式即為
即
①當(dāng)
②當(dāng)
③.
18．解：
19．解：（1）設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，可得：
（2）
20．解法（一）
（1）證明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（3）過D作DH⊥CE于H，連D1H、DE，則D1H⊥CE，
∴∠DHD1為二面角D1―EC―D的平面角.
設(shè)AE=x，則BE=2－x
解法（二）：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，
，設(shè)平面ACD1的法向量為，則
也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為
（3）設(shè)平面D1EC的法向量，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依題意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=時(shí)，二面角D1―EC―D的大小為.
21．解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，
∴，命題正確.
2°假設(shè)n=k時(shí)有
則
而
又
∴時(shí)命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈N時(shí)有
方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；
2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，
令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)
有：即
也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立，所以對一切
（2）下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：所以
,
又bn=－1，所以
22．解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，
∴切線AP的方程為：
切線BP的方程為：
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：
所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ，
所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：
（2）方法1：因?yàn)?/p>
由于P點(diǎn)在拋物線外，則
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：
即
所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：
直線BF的方程：
所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：
，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
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