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已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結(jié)合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

又，，。∴在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

長沙市某民營化工企業(yè)經(jīng)過近十年打拼，目前凈資產(chǎn)已達3千萬元. 由于種種原因，影響了企業(yè)的進一步發(fā)展，企業(yè)領導班子決定對企業(yè)內(nèi)部所有環(huán)節(jié)進行改革. 據(jù)市場調(diào)查報告顯示：在未來五年內(nèi)，若引進新的技術(shù)及設備改造后，企業(yè)的生產(chǎn)總量為x千噸，最大限度不能超過4千噸，而每千噸銷售可獲純利P（x）與生產(chǎn)總量x的函數(shù)關系為 由于該企業(yè)的產(chǎn)品市場占有量較大，產(chǎn)量的大小對每千噸產(chǎn)品的純利潤影響較大. 如果企業(yè)的生產(chǎn)總量為1千噸時，市場該產(chǎn)品每千噸銷售可獲純利萬元，如果生產(chǎn)總量達到最大限度值4千噸，此時市場需求趨于飽和狀態(tài)，每千噸銷售只能獲純利萬元.企業(yè)在人員工資給、產(chǎn)品廣告費用及環(huán)境污染治理等方面需投入每千噸1萬元.

（1）求出常數(shù)a，b的值；

（2）求出該企業(yè)在未來五年內(nèi)凈資產(chǎn)的總額（單位：千萬元）關于生產(chǎn)總量x（單位：千噸）的函數(shù)表達式；

（3）當生產(chǎn)總量x（單位：千噸）取值為多少時，該企業(yè)在未來五年內(nèi)凈資產(chǎn)的總額（單位：千萬元）取最大值，并求出此最大值.

已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=－x+y的取值范圍是

（A）(1－，2)     （B）(0，2)     （C）(－1，2)   （D）(0，1+)

【解析】    做出三角形的區(qū)域如圖，由圖象可知當直線經(jīng)過點B時，截距最大，此時，當直線經(jīng)過點C時，直線截距最小.因為軸，所以,三角形的邊長為2，設，則，解得，，因為頂點C在第一象限，所以，即代入直線得，所以的取值范圍是，選A.

已知函數(shù)，其中.

  （1）若在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；

  （2）討論函數(shù)在的單調(diào)性；

  （3）若函數(shù)在上的最小值為2，求的取值范圍.

【解析】第一問，因在處取得極值

所以，，解得，此時，可得求曲線在點

處的切線方程為：

第二問中，易得的分母大于零，

①當時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時，由可得，由解得

第三問，當時由（2）可知，在上處取得最小值，

當時由（2）可知在處取得最小值，不符合題意.

綜上，函數(shù)在上的最小值為2時，求的取值范圍是