題目列表(包括答案和解析)
設函數(shù)
，其中
。
（1）若
，且
，求
；
（2）若函數(shù)
的圖象按向量
平移得到函數(shù)
的圖象，求實數(shù)
的值。
設函數(shù)
，其中
。
（Ⅰ）若
，求a的值；
（Ⅱ）當
時，討論函數(shù)
在其定義域上的單調性；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)
，不等式
都成立。
（14分）設函數(shù)
，其中
。
⑴當
時，判斷函數(shù)
在定義域上的單調性；
⑵求函數(shù)的極值點；
⑶證明對任意的正整數(shù)
，不等式
成立。
設函數(shù)
，其中
,
。
（1）若
，求曲線
在
點處的切線方程；
（2）是否存在負數(shù)
，使
對一切正數(shù)
都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。
設函數(shù)
，其中
,
。
（1）若
，求曲線
在
點處的切線方程；
（2）是否存在負數(shù)
，使
對一切正數(shù)
都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。
一、選擇題
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）B
（6）B （7）B （8）D （9）D （10）A
（11）B （12）C
二、填空題
（13）
（14）－6 （15）
（16）576
三、解答題
（17）（本小題滿分12分）
解：（I）當
時，
。
依條件有：
∴
∴
的單調增區(qū)間為
6分
（II）設
∴
∴
∴
依條件令
，即
時，為偶函數(shù)。 12分
（18）（本小題滿分12分）
解：（I）四件產品逐一取出排成一列共有
種方法，前兩次取出的產品都是二等品的共有
種方法，∴前兩次取出的產品都是二等品的概率為
； 6分
（II）
的所有可能取值為2，3，4，∴的概率分布為
2
3
4
P
∴
12分
（19）（本小題滿分12分）
（I）證明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1。
∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1。
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影。
∵BC＝CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形。
∴BC1⊥B1C。根據(jù)三垂線定理得
AB1⊥BC1 4分
（II）解：設
，作OP⊥AB1于點P
連結BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，
∴BO⊥平面AB1C
∴OP是BP在平面AB1C上的射影。
根據(jù)三垂線定理得AB1⊥BP。
∴∠OPB是二面角B－AB1－C的平面角
∵
在Rt△POB中，
∴二面角B－AB1－C的正切值為
8分
（III）解：解法1：∵A1C1∥AC，AC
平面AB1C，
∴A1C1∥平面AB1C。
∴點A1到平面AB1C的距離與點C1到平面AB1C的距離相等。
∵BC1⊥平面AB1C，
∴線段C1O的長度為點A1到平面AB1C的距離
∴點A1到平面AB1C的距離為
a 12分
解法2：連結A1C，有
設點A1到平面AB1C的距離為h。
∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴
?h＝
，
又
∴
，
∴點A1到平面AB1C的距離為
12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（I）若在[0，
）上是增函數(shù)，則
時
恒成立
即
恒成立
∴
故a的取值范圍是
6分
（II）若
上是增函數(shù)
則
恒成立
即
對所有的
均成立
得
，與題設
矛盾。
∴上不是增函數(shù) 12分
（21）（本小題滿分14分）
解：（I）設E（x，y），則
由已知得
∴
即為點E的軌跡方程。 4分
（II）設橢圓C的方程為
，過F1的直線為
，P、Q在橢圓C上，
∴
兩式相減，得
①
而
，
代入①得
②
由與圓
相切，得
代入②得
，
而
橢圓C的方程為
9分
（III）假設存在直線
，設MN的中點為
由|TM|＝|TN|，∴TP為線段MN的中垂線，其方程為
又設
相減并由
整理得：
又點P（－4k，2）在橢圓的內部
∴
，解之得
，即k不存在
∴不存在直線l滿足題設條件。 14分
（22）（本小題滿分12分）
解：（I）P2表示從S點到A（或B、C、D），然后再回到S點的概率
所以
；
因為從S點沿SA棱經過B或D，然后再回到S點的概率為
，
所以
4分
（II）設小蟲爬行n米后恰回到S點的概率為Pn，那么
表示爬行n米后恰好沒回到S點的概率，則此時小蟲必在A（或B、C、D）點
所以
8分
（III）由
從而
所以
12分
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