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A．選修4-1：幾何證明選講
銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于點(diǎn)E，連接EC，求∠OEC．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線C₁=x²+2y2=1在矩陣M=[

1 2 0 1

]的作用下變換為曲線C₂，求C₂的方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
P為曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）上一點(diǎn)，求它到直線C₂：

x=1+2t y=2

（t為參數(shù)）距離的最小值．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)n∈N^*，求證：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 -4

，點(diǎn)P（2，-1）在矩陣A對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數(shù)，且abc=8，求證：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D．求證：ED²=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)．A，B，C，求線段AB的長．
D．選修4-5：不等式選講
對于實(shí)數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量為，點(diǎn)P（2，-1）在矩陣A對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數(shù)，且abc=8，求證：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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1．A      2．C       3．B       4．A      5．C       6．C       7．D      8．C       9．D      10．B

1l．B      12．A

1．解析：，故選A．

2．解析：

       ，∴選C．

3．解析：是增函數(shù) 

       故，即

       又

       ，故選B．

4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經(jīng)過點(diǎn)．此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值（注意與反號）

由得

       ，故選A

5．解析：設(shè)有人投中為事件，則，

       故選C．

6．解析：展開式中能項(xiàng)；

       由，得，故選C．

7．解析：

       由得

，故選D．

8．略

9．解析：由得準(zhǔn)線方程，雙曲線準(zhǔn)線方程為

       ，解得，

       ，故選D．

10．解析：設(shè)正四面體的棱長為2，取中點(diǎn)為，連接，則為與所成的角，在中

，故選B．

11．解析：由題意，則，故選B．

12．解析：由已知，

       為球的直徑

       ，又，

       設(shè)，則

       ，

       又由，解得

       ，故選A．

另法：將四面體置于正方休中．

       正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．

二、

13．解析：在上的投影是．

14．解析：，且．

15．解析：，

       由余弦定理為鈍角

       ，即，

       解得．

16．

解析：容易知命題①是錯(cuò)的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設(shè)棱長為，顯然與為平面內(nèi)兩條距離為的平行直線，它們在底面內(nèi)的射影、仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

設(shè)邊上的高為，則

．

18．（1）設(shè)甲、乙兩人同時(shí)參加災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件，則．

（2）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件，那么．

（3）隨機(jī)變量可能取得值為1，2，事件“”是指有兩人同時(shí)參加災(zāi)區(qū)服務(wù)，則，所以．

分布列是

1

2

19．解：（1）平面

              ∵二面角為直二面角，且，

平面              平面．

（2）（法一）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形，                  ，

二平面，由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，則

              ，

              設(shè)平面的法向量分別為，則由

              得，而平面的一個(gè)法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由題設(shè)，即

              易知是首項(xiàng)為、公差為2的等差數(shù)列，

              ∴通項(xiàng)公式為，

       （2）由題設(shè)，，得是以公比為的等比數(shù)列．

              由得．

21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．

（2）證明：設(shè)、的坐標(biāo)分別為

             若直線有斜率時(shí)，其坐標(biāo)滿足下列方程組：

              ，        

              若沒有斜率時(shí)，方程為．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：，于是，

              解得或

              因，故．

（2）證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)．

所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形，而．

可知．函數(shù)的圖象按向量平移，即得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖象是以點(diǎn)（1，1）為中心的中心對稱圖形，

（3）證明；在曲線上作取一點(diǎn)，

       由知，過此點(diǎn)的切線方程為

．

令，得，切線與直線交點(diǎn)為．

令，得切線與直線交點(diǎn)為，直線與直線與直線的交點(diǎn)為（1，1）．

從而所圍三角形的面積為        

所以，圍成三角形的面積為定值2．

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