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已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=4的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E，求證：直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M；
（III）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在（II）的條件下，過(guò)點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn)，求•的取值范圍．

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一、選擇題（4′×10=40分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

B

C

D

C

A

A

B

A

三、填空題（4′×4=16分）

11．       12．          13．       14．

三、解答題（共44分）

15．①解：原不等式可化為：  ………………………2′

   作根軸圖：

                                                     ………………………4′

   可得原不等式的解集為：  ………………………6′

②解：直線的斜率  ………………………2′

∵直線與該直線垂直

∴              ………………………4′

則的方程為： ………………………5′

即為所求………………………6′

16．解：∵  ∴，且………………………1′

于是………………………3′

        ………………………4′

     ………………………5′

當(dāng)且僅當(dāng)： 即………………………6′

       時(shí)，………………………7′

17．解：將代入中變形整理得：

………………………2′

首先且………………………3′

設(shè)   

由題意得：

解得：或（舍去）………………………5′

由弦長(zhǎng)公式得：………………………7′

18．解①設(shè)雙曲線的實(shí)半軸，虛半軸分別為，

由題得：   ∴………………………1′

于是可設(shè)雙曲線方程為：………………………2′

將點(diǎn)代入可得：，

∴該雙曲線的方程為：………………………4′

②直線方程可化為：，

則它所過(guò)定點(diǎn)代入雙曲線方程：得：

∴………………………6′

又由得，

∴，或，…………7′

∴

∴……………………8′

19．解：①設(shè)中心關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

則 解得：

∴，又點(diǎn)在左準(zhǔn)線上，軸

∴的方程為：……………………4′

②設(shè)、、、

∵、、成等差數(shù)列，

∴，

即：

亦：

∴  ……………………6′

   ∴

由得……………………8′

∴，  ∴

又由代入上式得：

∴， ∴……………………9′

∴，，

∴橢圓的方程為：