題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
在一次奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題，已知甲答對這道題目的概率是
，甲、丙兩人都答錯的概率是
，乙、丙兩人都答對的概率是
．
（1）求乙、丙兩人各自答對這道題目的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目的概率．
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| 4 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 4 |
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是
．2010年11月廣州成功舉辦了第十六屆亞運會。在華南理工大學(xué)學(xué)生會舉行的亞運知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關(guān)亞運知識的問題，已知甲回答對這道題目的概率是
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是
．
（1）求乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率．
（2）（理）求回答對這道題目的人數(shù)的隨機變量
的分布列和期望．
【解析】本試題主要考查了獨立事件概率的乘法計算公式的運用。以及對立事件的概率的運用。
,甲、丙兩人都回答錯的概率是
,乙、丙兩人都回答對的概率是
.(1)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率;
(2)求回答對該題的人數(shù)ξ的分布列和Eξ.
一、
1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C
11．B 12．B
【解析】
11．提示：設(shè)曲線
在點
處切線傾斜角為
，則
，由
，得
，故
，所以
，故選B．
12．提示：整形結(jié)合．
二、
13．
14．
15．3 16．①③
三、
17．解：（1）
的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）
18．（1）設(shè)乙、丙各自回答對的概率分別是
、
，根據(jù)題意得：
，解得
（2）
．
19．解：（1）
的解集有且只有一個元素
或
又由
得
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
（2）
①
②
由式①-或②得
．
20．解法一：
（1）設(shè)
交
于點
平面
．
作
于點
，連接
，則由三垂線定理知：
是二面角
的平面角．
由已知得
，
，
∴二面角的大小的60°．
（2）當(dāng)
是
中點時，有
平面
．
證明：取
的中點
，連接
、
，則
，
，故平面即平面
．
又
平面，
平面．
解法二：由已知條件，以
為原點，以
、
、
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
（1）
，
，設(shè)平面的一個法向量為
，
則
取
設(shè)平面
的一個法向量為
，則
取
．
二面角的大小為60°．
（2）令
，則
，
，
由已知，
，要使平面，只需
，即
則有
，得
當(dāng)是中點時，有平面．
21．解：（1）① 當(dāng)直線
垂直于軸時，則此時直線方程為
，
與圓的兩個交點坐標(biāo)為
和
，其距離為
，滿足題意．
② 若直線不垂直于軸，設(shè)其方程
，即
設(shè)圓心到此直線的距離為
，則
，得
，
此時所求直線方程為
綜上所述，所求直線為或．
（2）設(shè)點
的坐標(biāo)為
點坐標(biāo)為
，則
點坐標(biāo)是
即
又
由已知，直線
軸，所以，
，
點的軌跡議程是
，
軌跡是焦點坐標(biāo)為
，長軸為8的橢圓，并去掉
兩點．
22．解：
，
（1）由題意：
解得
．
（2）方程
的叛別式
，
① 當(dāng)
，即
時，
，
在
內(nèi)恒成立，此時
在為增函數(shù)；
② 當(dāng)
，即
或
時，
要使在內(nèi)為增函數(shù)，只需在內(nèi)有即可，
設(shè)
，
由
得，所以．
由①②可知，若在內(nèi)為增函數(shù)，則
的取值范圍是
．
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