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在正四面體的頂點(diǎn)及各面的中心共8個(gè)點(diǎn)中，以其中4個(gè)為頂點(diǎn)，可構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為___________個(gè)．

在棱長為的正方體中,是線段的中點(diǎn),.

(1) 求證:^；

(2) 求證://平面；

(3) 求三棱錐的表面積.

【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運(yùn)用。第一問中，利用，得到結(jié)論，第二問中，先判定為平行四邊形，然后，可知結(jié)論成立。

第三問中，是邊長為的正三角形，其面積為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為， 面積為.  所以三棱錐的表面積為.

解: (1)證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image028.png">，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)證明：連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image033.png">，

所以為平行四邊形，因此，

由于是線段的中點(diǎn)，所以，      …………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image035.png">面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是邊長為的正三角形，其面積為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為，              ……………………10分

面積為.          所以三棱錐的表面積為

 

在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下幾何圖形的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何圖形是    ．（寫出所有正確結(jié)論的編號）．
①梯形；
②矩形；
③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；
④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；
⑤每個(gè)面都是等腰直角三角形的四面體．