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在直角坐標(biāo)系xOy中，點M到點F₁(-

3

，0)、F₂(

3

，0)的距離之和是4，點M的軌跡是C，直線l：y=kx+

2

與軌跡C交于不同的兩點P和Q．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使以線段PQ為直徑的圓過原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A，B兩點．
（1）a為何值時，以AB為直徑的圓過原點；
（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使A，B關(guān)于直線x-2y=0對稱，若存在，求a的值，若不存在，說明理由．

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）；以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過C點，
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)點D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l，與橢圓交于不同的兩點M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0？
若存在．求出直線l斜率的取值范圍；
（3）對于y軸上的點P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0，試求實數(shù)n的取值范圍．

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B．
（I）求實數(shù)k的取值范圍；
（II）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，已知一個圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足．
（1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程．
（2）過點Q（一2，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點（-

4

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，0），且以言

a

=(0，1)為方向向量的直線上一動點，滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為坐標(biāo)原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線Z的方程；若不存在，說明理由．