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如圖，已知點(diǎn)和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)B．

（1）若，求向量；

（2）求的最大值．

【解析】對(duì)于這樣的向量的坐標(biāo)和模最值的求解，利用建立直角坐標(biāo)系的方法可知。

第一問(wèn)中，依題意，，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911085823385992/SYS201207091109409213861961_ST.files/image002.png">，所以，即，

解得，所以

第二問(wèn)中，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值。

（1）依題意，，（不含1個(gè)或2個(gè)端點(diǎn)也對(duì)）

， （寫(xiě)出1個(gè)即可）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911085823385992/SYS201207091109409213861961_ST.files/image002.png">，所以，即，

解得，所以.-

（2），

 當(dāng)時(shí)，取得最大值，

 

已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，是等比數(shù)列，且，。

⑴求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和。

⑴   ，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：．

【解析】第一問(wèn)利用數(shù)列

依題意有：當(dāng)n=1時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

第二問(wèn)中，利用由得：，然后借助于錯(cuò)位相減法

第三問(wèn)中

結(jié)合均值不等式放縮得到證明。

 

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過(guò)點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)，利用函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x₀，x₀³－3x₀)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數(shù)∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過(guò)點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫(huà)出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

如圖，，，…，，…是曲線上的點(diǎn)，，，…，，…是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）寫(xiě)出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；

（2）求證：（）；

（3）設(shè)，對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問(wèn)利用有，得到

第二問(wèn)證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得

第三問(wèn) 

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立； ……………2分

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………1分

則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當(dāng)時(shí)，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對(duì)所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，

 

一自來(lái)水廠用蓄水池通過(guò)管道向所管轄區(qū)域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計(jì)劃在當(dāng)日每小時(shí)向蓄水池注入水2千噸，且每小時(shí)通過(guò)管道向所管轄區(qū)域供水千噸．

（1）多少小時(shí)后，蓄水池存水量最少？

（2）當(dāng)蓄水池存水量少于3千噸時(shí)，供水就會(huì)出現(xiàn)緊張現(xiàn)象，那么當(dāng)日出現(xiàn)這種情況的時(shí)間有多長(zhǎng)？

【解析】第一問(wèn)中（1）設(shè)小時(shí)后，蓄水池有水千噸．依題意，當(dāng)，即（小時(shí)）時(shí)，蓄水池的水量最少，只有1千噸

第二問(wèn)依題意，   解得：

解：（1）設(shè)小時(shí)后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分

依題意，…………………………………………4分

當(dāng)，即（小時(shí)）時(shí)，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分

（2）依題意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，當(dāng)天有8小時(shí)會(huì)出現(xiàn)供水緊張的情況