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        1. 21.選修4―2 矩陣與變換 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          選修4-2 矩陣與變換.
          已知二階矩陣M
          1
          0
          =
          1
          0
          ,M
          1
          1
          =
          2
          2
          ,求M2
          1
          -1

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          選修4-2 矩陣與變換
          已知M=
          1-2
          -21
          ,α=
          3
          1
          ,試計算M20α.

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          (選修4-2 矩陣與變換)已知二階矩陣M有特征值λ=6及對應(yīng)的一個特征向量e1=
          .
          1
          1
          .
          ,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)(-1,2)換成(-2,4).
          (1)求矩陣M;
          (2)求矩陣M的另一個特征值,及對應(yīng)的一個特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

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          【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
          A.選修4-1 幾何證明選講
          如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上一點(diǎn),AE=AC,DE交AB于點(diǎn)F.求證:△PDF∽△POC.
          B.選修4-2 矩陣與變換
          若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M=
          cosα-sinα
          sinαcosα
          對應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣.
          C.選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合,
          曲線C1ρcos(θ+
          π
          4
          )=2
          2
          與曲線C2
          x=4t2
          y=4t
          (t∈R)交于A、B兩點(diǎn).求證:OA⊥OB.
          D.選修4-5 不等式選講
          已知x,y,z均為正數(shù).求證:
          x
          yz
          +
          y
          zx
          +
          z
          xy
          1
          x
          +
          1
          y
          +
          1
          z

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          選修4-2 矩陣與變換
          已知矩陣A=
          30
          04
          ,點(diǎn)M(-1,-1),點(diǎn)N(1,1).
          (1)求線段MN在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的線段M'N'的長度;
          (2)求矩陣A的特征值與特征向量.

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          1.    2.     3.a(chǎn)=-2.     4.    5.    6.  

          7.       8.     9.  10.     11.   12.0   13.    14.18

           

          15.解:(Ⅰ)由,         3分

          ,                      5分

          ,∴  。                                     7分

          (Ⅱ)由可得,,                    9分

          得,,                                    12分

          所以,△ABC面積是                              14分

           

           

          17.解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,

          ∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.

          在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,

          ∴CD=2,AD=4.

          ∴SABCD

          .……………… 3分

          則V=.     ……………… 5分

          (Ⅱ)∵PA=CA,F(xiàn)為PC的中點(diǎn),

          ∴AF⊥PC.            ……………… 7分

          ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.

          ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,

          ∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.

          ∵E為PD中點(diǎn),F(xiàn)為PC中點(diǎn),

          ∴EF∥CD.則EF⊥PC.       ……… 9分

          ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分

          (Ⅲ)證法一:

          取AD中點(diǎn)M,連EM,CM.則EM∥PA.

          ∵EM 平面PAB,PA平面PAB,

          ∴EM∥平面PAB.   ……… 12分

          在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,

          ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.

          ∵M(jìn)C 平面PAB,AB平面PAB,

          ∴MC∥平面PAB.  ……… 14分

          ∵EM∩MC=M,

          ∴平面EMC∥平面PAB.

          ∵EC平面EMC,

          ∴EC∥平面PAB.   ……… 15分

          證法二:

          延長DC、AB,設(shè)它們交于點(diǎn)N,連PN.

          ∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,

          ∴C為ND的中點(diǎn).         ……12分

          ∵E為PD中點(diǎn),∴EC∥PN.……14分

          ∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,

          ∴EC∥平面PAB.   ……… 15分

           

           

          17.解:(Ⅰ)n≥2時,.     ………………… 4分

          n=1時,,適合上式,

          .               ………………… 5分

          (Ⅱ).          ………………… 8分

          ∴數(shù)列是首項為4、公比為2的等比數(shù)列.   ………………… 10分

          ,∴.……………… 12分

          Tn.            ………………… 14分

          18.解:(Ⅰ) …… 4分

                                  …………………… 8分

           

           

           

           

          (Ⅱ)當(dāng)0≤t<10時,y的取值范圍是[1200,1225],

          在t=5時,y取得最大值為1225;               …………………… 11分

          當(dāng)10≤t≤20時,y的取值范圍是[600,1200],

          在t=20時,y取得最小值為600.               …………………… 14分

          (答)總之,第5天,日銷售額y取得最大為1225元;

          第20天,日銷售額y取得最小為600元.         …………………… 15分

           

           

           

          19. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得…………………(3分)

          則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為

          …………(5分)

          (Ⅱ)設(shè),則,且…………………(7分)

          ==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)

          …………(10分)

          (Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

          ,由,得

          ……………………(11分)

            因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得………………………

          (13分)

            同理,,所以=

            所以,直線一定平行…………………………………………………………………(15分)

          20.解:(Ⅰ),

          ,且.    …………………… 2分

          解得a=2,b=1.                           …………………… 4分

          (Ⅱ),令

          ,令,得x=1(x=-1舍去).

          內(nèi),當(dāng)x∈時,,∴h(x)是增函數(shù);

          當(dāng)x∈時,,∴h(x)是減函數(shù).     …………………… 7分

          則方程內(nèi)有兩個不等實(shí)根的充要條件是……10分

          .                                               …………………… 12分

          (Ⅲ)

          假設(shè)結(jié)論成立,則有

          ①-②,得

          由④得,

          .即

          .⑤                              …………………… 14分

          ,(0<t<1),

          >0.∴在0<t<1上增函數(shù).

          ,∴⑤式不成立,與假設(shè)矛盾.

          .                     ……………………………16

           


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