題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C：
，經(jīng)過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．（1）是否存在k，使對任意m>0，總有
成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若
，求實數(shù)k的取值范圍．
（本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓
的離心率為
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點
為頂點的三角形的周長為
.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)
為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線
和
與橢圓的交點分別為
和
.
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為
、
，證明
；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
（本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓
的離心率為
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點
為頂點的三角形的周長為
.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)
為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線
和
與橢圓的交點分別為
和
.
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為
、
，證明
；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
（本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓
過點
，兩個焦點分別為
，
為坐標(biāo)原點，平行于
的直線
交橢圓于不同的兩點
，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問直線
的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段
為直徑且過點
的圓的方程；若不存在，說明理由.
（本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D．
（I）設(shè)
，求
與
的比值；
（II）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由．
一、選擇題
1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C
10．B 11．B 12．C
二、填空題
13． －3
14．
15．2
16．
三、解答題
17．解：原不等式可化為
即
………………………………6分
當(dāng)
…………8分
當(dāng)
…………10分
當(dāng)
…………12分
18．解：
………………6分
（1）函數(shù)
的最小正周期
…………8分
（2）
取得最大值.
最大值為
………………12分
19．解：
（1）甲恰好投中2次的概率為
………………3分
（2）乙至少投中2次的概率為
…………7分
（3）設(shè)甲、乙兩人共投中5次為事件A，甲恰好投中3次且乙恰投中2次為事件B1，甲恰投中2次且乙恰好投中3次為事件B2，則A=B1+B2，B1，B2為互斥事件.
………………9分
………………11分
所以，甲、乙兩人共投中5次的概率為
………………12分
20．解：
（1）
解得
（舍去）…………5分
（2）假設(shè)存在a，b使得
即
…………9分
對于一切自然數(shù)
解得
……………………12分
21．解：
（1）設(shè)橢圓方程為
，則
，
由題意得
………………4分
故橢圓方程為
………………6分
（2）設(shè)
，
…………10分
當(dāng)
取到最大值，此時
最大，故的最大為
………………12分
22．解：由題設(shè)x1和x2是方程
.
所以
當(dāng)
………………3分
由題意，不等式
對于任意實數(shù)
恒成立的m的解集等價于不等式
3的解集，由此不等式得
①
或
②………………6分
不等式①的解為
不等式②的解集為
因此，當(dāng)
時，P是正確的…………7分
對函數(shù)
，求導(dǎo)得
令
此一元二次方程的判別式
若
的符號如下
x
+
0
+
因此，
的根植.
若
的符號如下
x
（
）
+
0
－
0
+
因此，函數(shù)
處取得極大值，在
處取得極小值
綜上述，當(dāng)且僅當(dāng)
上有極值…………12分
由
是正確的.
綜上，使p正確且q正確時，實數(shù)m的取值范圍是
…………………………14分
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