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        1. 當時..所以函數(shù)在當時是增函數(shù) 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          設(shè)函數(shù)

          (1)當時,求曲線處的切線方程;

          (2)當時,求的極大值和極小值;

          (3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

          【解析】(1)中,先利用,表示出點的斜率值這樣可以得到切線方程。(2)中,當,再令,利用導(dǎo)數(shù)的正負確定單調(diào)性,進而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說明了在區(qū)間導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。

          解:(1)當……2分

             

          為所求切線方程!4分

          (2)當

          ………………6分

          遞減,在(3,+)遞增

          的極大值為…………8分

          (3)

          ①若上單調(diào)遞增!酀M足要求!10分

          ②若

          恒成立,

          恒成立,即a>0……………11分

          時,不合題意。綜上所述,實數(shù)的取值范圍是

           

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          已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

          (1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

          (2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

          【解析】解:.

          單調(diào)遞減;當單調(diào)遞增,故當時,取最小值

          于是對一切恒成立,當且僅當.       、

          時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.

          故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.

          綜上所述,的取值集合為.

          (Ⅱ)由題意知,

          ,則.當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.故當,

          從而,

          所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

          【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.

           

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          關(guān)于函數(shù),有下列命題:

           

          ①其圖像關(guān)于軸對稱;

          ②當時,是增函數(shù),當時,是減函數(shù);

          的最小值是

          在區(qū)間(-1,0),(2,)上是增函數(shù);

          無最大值,也無最小值。

          其中所以正確結(jié)論的序號是                    .

           

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          已知函數(shù),,

          (Ⅰ)當時,若上單調(diào)遞增,求的取值范圍;

          (Ⅱ)求滿足下列條件的所有實數(shù)對:當是整數(shù)時,存在,使得的最大值,的最小值;

          (Ⅲ)對滿足(Ⅱ)的條件的一個實數(shù)對,試構(gòu)造一個定義在,且上的函數(shù),使當時,,當時,取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列。

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          已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

          (1)求f(x)的解析式;

          (2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.

          【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

          (2)中設(shè)切點為(x0,x03-3x0),因為過點A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

          然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

          解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

          依題意

          又f′(0)=-3

          ∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

          (2)設(shè)切點為(x0,x03-3x0),

          ∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

          ∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

          又切線過點A(2,m)

          ∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

          ∴m=-2x03+6x02-6

          令g(x)=-2x3+6x2-6

          則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

          由g′(x)=0得x=0或x=2

          ∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

          ∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

          畫出草圖知,當-6<m<2時,m=-2x3+6x2-6有三解,

          所以m的取值范圍是(-6,2).

           

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