題目列表(包括答案和解析)
如圖，將一張矩形的紙對折以后略微展開，豎立在桌面上，說明折痕為什么與桌面垂直．
從圖中可直觀地看出，折痕垂直于對折后的紙與桌面所形成的交線．由直線與平面垂直的判定定理知，折痕與桌面垂直．那么在折痕垂直于紙與桌面的交線未知的情況下，單憑折后的紙與桌面垂直，能否得出折痕與桌面垂直？轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，即如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面嗎？下面用不同的方法證明．
如圖，已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，β∩α＝l，γ∩α＝m．
求證：a⊥α．
劉徽的割圓術(shù)以半徑為單位長求圓內(nèi)正六邊形、十二邊形等的每一邊長，所得答數(shù)和2sinA(A是正多邊形所對圓心角的一半)的值相符．以后公元十二世紀趙友欽用圓正四邊形起算也同此理．利用他們的算法可以得出7.5°，15°，22.5°，30°，45°等角的正弦值的近似值．
此外，在古代的歷法中有計算二十四個節(jié)氣的日晷影長．地面上直立一個八尺長的“表”，太陽光對該“表”在地面上的射影由于地球公轉(zhuǎn)而每個節(jié)氣的影長都不同，這些影長和八尺長的“表”的比，構(gòu)成一個余切函數(shù)表．
閱讀上面材料，怎樣利用劉徽的割圓術(shù)求7.5°，15°，22.5°，30°，45°等角的正弦值的近似值？
已知函數(shù)
．（
）
（1）若
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若在區(qū)間
上，函數(shù)的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于
在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區(qū)間
上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區(qū)間上恒有
，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．
（08年聊城市一模） 給出以下命題：
①合情推理是由特殊到一般的推理，得到的結(jié)論不一定正確，演繹推是由一般到特殊的推理，得到的結(jié)論一定正確。
②甲、乙兩同學各自獨立地考察兩個變量X、Y的線性相關(guān)關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)兩人對X的觀察數(shù)據(jù)的平均值相等，都是s，對Y的觀察數(shù)據(jù)的平均值也相等，都是t，各自求出的回歸直線分別是l1、l2，則直線l1與l2必定相交于點（s，t）。
③某企業(yè)有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，一般職員90人，若用分層抽樣的方法抽出一個容量為30的樣本，則一般職員應(yīng)抽出20人。
④用獨立性檢驗（2×2列聯(lián)表法）來考察兩個分類變量是否有關(guān)系時，算出的隨機變量K2的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大。
其中真命題的序號是 （寫出所有真命題的序號）。
在棱長為
的正方體
中,
是線段
的中點,
.
(1) 求證:
^
；
(2) 求證://平面
；
(3) 求三棱錐
的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中，利用
，得到結(jié)論，第二問中，先判定
為平行四邊形，然后
，可知結(jié)論成立。
第三問中，
是邊長為
的正三角形，其面積為
，
因為
平面
，所以
，
所以
是直角三角形，其面積為
，
同理
的面積為
，
面積為
. 所以三棱錐的表面積為
.
解: (1)證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)
，
因為
，
所以
，又
，所以，
，
所以^.
………………4分
(2)證明：連接
，因為
，
所以為平行四邊形，因此
，
由于是線段的中點，所以， …………6分
因為
面，
平面，所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長為的正三角形，其面積為，
因為平面，所以，
所以是直角三角形，其面積為，
同理的面積為，
……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
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