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        1. 解:(1)任取.不妨設.于是 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          平面直角坐標系內的向量都可以用一有序實數(shù)對唯一表示,這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具.如圖,設直線l的傾斜角為α(α90°).在l上任取兩個不同的點,不妨設向量的方向是向上的,那么向量的坐標是().過原點作向量,則點P的坐標是(),而且直線OP的傾斜角也是α.根據(jù)正切函數(shù)的定義得

          ,

          這就是《數(shù)學2》中已經得到的斜率公式.上述推導過程比《數(shù)學2》中的推導簡捷.你能用向量作為工具討論一下直線的有關問題嗎?例如:

          (1)過點,平行于向量的直線方程;

          (2)向量(A,B)與直線的關系;

          (3)設直線的方程分別是

          ,

          ,

          那么,,的條件各是什么?如果它們相交,如何得到它們的夾角公式?

          (4)到直線的距離公式如何推導?

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          設A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表,滿足:每個數(shù)的絕對值不大于1,且所有數(shù)的和為零,記s(m,n)為所有這樣的數(shù)表構成的集合。

          對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1≤j≤n):

          記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

          (1)   對如下數(shù)表A,求K(A)的值;

          1

          1

          -0.8

          0.1

          -0.3

          -1

           

          (2)設數(shù)表A∈S(2,3)形如

          1

          1

          c

          a

          b

          -1

           

          求K(A)的最大值;

          (3)給定正整數(shù)t,對于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。

          【解析】(1)因為,

          所以

          (2)  不妨設.由題意得.又因為,所以

          于是,,

              

          所以,當,且時,取得最大值1。

          (3)對于給定的正整數(shù)t,任給數(shù)表如下,

          任意改變A的行次序或列次序,或把A中的每一個數(shù)換成它的相反數(shù),所得數(shù)表

          ,并且,因此,不妨設,

          。

          得定義知,,

          又因為

          所以

               

               

          所以,

          對數(shù)表

          1

          1

          1

          -1

          -1

           

          ,

          綜上,對于所有的,的最大值為

           

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          已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

          (Ⅰ)求實數(shù)的值; 

          (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

          (Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

          【解析】第一問當時,,則。

          依題意得:,即    解得

          第二問當時,,令,結合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值

          第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

          不妨設,則,顯然

          是以O為直角頂點的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

          (Ⅰ)當時,,則。

          依題意得:,即    解得

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

          ①當時,,令

          變化時,的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調遞減

          極小值

          單調遞增

          極大值

          單調遞減

          ,,。∴上的最大值為2.

          ②當時, .當時, ,最大值為0;

          時, 上單調遞增!最大值為。

          綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

          時,即時,在區(qū)間上的最大值為。

          (Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

          不妨設,則,顯然

          是以O為直角頂點的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

          ,則代入(*)式得:

          ,而此方程無解,因此。此時,

          代入(*)式得:    即   (**)

           ,則

          上單調遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是

          ∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

          因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

           

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          設點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().

          (1) 當時,試寫出拋物線上的三個定點、的坐標,從而使得

          ;

          (2)當時,若,

          求證:;

          (3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:

          “若,則.”

          開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

          請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

          ① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

          ② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

          ③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

          【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

          【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設,

          分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.

          由拋物線定義得到

          第二問設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

          由拋物線定義得

          第三問中①取時,拋物線的焦點為

          ,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

          ,

          ,不妨取;;;

          解:(1)拋物線的焦點為,設,

          分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

           

          因為,所以,

          故可取滿足條件.

          (2)設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

          由拋物線定義得

             又因為

          ;

          所以.

          (3) ①取時,拋物線的焦點為

          ,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

          ,

          ,不妨取;;,

          ,

          .

          ,,是一個當時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

          ② 設,分別過

          拋物線的準線的垂線,垂足分別為,

          及拋物線的定義得

          ,即.

          因為上述表達式與點的縱坐標無關,所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則

          ,

          ,所以.

          (說明:本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)

          ③ 補充條件1:“點的縱坐標)滿足 ”,即:

          “當時,若,且點的縱坐標)滿足,則”.此命題為真.事實上,設,

          分別過作拋物線準線的垂線,垂足分別為,由,

          及拋物線的定義得,即,則

          ,

          又由,所以,故命題為真.

          補充條件2:“點與點為偶數(shù),關于軸對稱”,即:

          “當時,若,且點與點為偶數(shù),關于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

           

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