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        1. 解:(1)任取.不妨設(shè).于是 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示,這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具.如圖,設(shè)直線l的傾斜角為α(α90°).在l上任取兩個不同的點(diǎn),不妨設(shè)向量的方向是向上的,那么向量的坐標(biāo)是().過原點(diǎn)作向量,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(),而且直線OP的傾斜角也是α.根據(jù)正切函數(shù)的定義得

          ,

          這就是《數(shù)學(xué)2》中已經(jīng)得到的斜率公式.上述推導(dǎo)過程比《數(shù)學(xué)2》中的推導(dǎo)簡捷.你能用向量作為工具討論一下直線的有關(guān)問題嗎?例如:

          (1)過點(diǎn),平行于向量的直線方程;

          (2)向量(AB)與直線的關(guān)系;

          (3)設(shè)直線的方程分別是

          ,

          那么,的條件各是什么?如果它們相交,如何得到它們的夾角公式?

          (4)點(diǎn)到直線的距離公式如何推導(dǎo)?

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          設(shè)A是由m×n個實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表,滿足:每個數(shù)的絕對值不大于1,且所有數(shù)的和為零,記s(m,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。

          對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1≤j≤n):

          記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

          (1)   對如下數(shù)表A,求K(A)的值;

          1

          1

          -0.8

          0.1

          -0.3

          -1

           

          (2)設(shè)數(shù)表A∈S(2,3)形如

          1

          1

          c

          a

          b

          -1

           

          求K(A)的最大值;

          (3)給定正整數(shù)t,對于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。

          【解析】(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image001.png">,

          所以

          (2)  不妨設(shè).由題意得.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image006.png">,所以

          于是,,

              

          所以,當(dāng),且時,取得最大值1。

          (3)對于給定的正整數(shù)t,任給數(shù)表如下,

          任意改變A的行次序或列次序,或把A中的每一個數(shù)換成它的相反數(shù),所得數(shù)表

          ,并且,因此,不妨設(shè),

          。

          得定義知,

          又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image030.png">

          所以

               

               

          所以,

          對數(shù)表

          1

          1

          1

          -1

          -1

           

          ,

          綜上,對于所有的的最大值為

           

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          已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; 

          (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

          (Ⅲ)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.

          【解析】第一問當(dāng)時,,則

          依題意得:,即    解得

          第二問當(dāng)時,,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

          第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          (Ⅰ)當(dāng)時,,則

          依題意得:,即    解得

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

          ①當(dāng)時,,令

          當(dāng)變化時,的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調(diào)遞減

          極小值

          單調(diào)遞增

          極大值

          單調(diào)遞減

          ,,!上的最大值為2.

          ②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0;

          當(dāng)時, 上單調(diào)遞增!最大值為。

          綜上,當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

          當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為。

          (Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          ,則代入(*)式得:

          ,而此方程無解,因此。此時,

          代入(*)式得:    即   (**)

           ,則

          上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是

          ∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

          因此,對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

           

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          設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的個不同的點(diǎn)().

          (1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點(diǎn)、的坐標(biāo),從而使得

          ;

          (2)當(dāng)時,若,

          求證:;

          (3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:

          “若,則.”

          開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

          請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

          ① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

          ② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

          ③ 如果補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

          【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實(shí)得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

          【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)

          分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.

          由拋物線定義得到

          第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

          由拋物線定義得

          第三問中①取時,拋物線的焦點(diǎn)為,

          設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

          ,不妨取;;

          解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),

          分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

           

          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,

          故可取滿足條件.

          (2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

          由拋物線定義得

             又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

          所以.

          (3) ①取時,拋物線的焦點(diǎn)為,

          設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

          ,

          ,不妨取;,

          .

          ,,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

          ② 設(shè),分別過

          拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,

          及拋物線的定義得

          ,即.

          因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則

          ,所以.

          (說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點(diǎn),均為反例.)

          ③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足 ”,即:

          “當(dāng)時,若,且點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足,則”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè)

          分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,

          及拋物線的定義得,即,則

          ,

          又由,所以,故命題為真.

          補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:

          “當(dāng)時,若,且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

           

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