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        1. (3)已知數(shù)列{an}中.a1∈.an+1=f(an).求證:an+1>8?lnan(n∈N*). 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=4,是函數(shù)f(x)=an-1x2-3an+an+1(n≥2)的一個(gè)零點(diǎn).

          (1)證明{an+1-an}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;

          (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn;

          (3)是否存在指數(shù)函數(shù)g(x),使得對(duì)任意的正整數(shù)n,有成立?若存在,求出滿足條件一個(gè)g(x);若不存在,說(shuō)明理由.

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          已知數(shù)列{an}中,a1=3,a2=5,其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),令bn

          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

          (2)若f(x)=2x-1,求證:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n≥1).

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          已知數(shù)列{an}中,a1=1,且點(diǎn)P(an,an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上.

          (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

          (Ⅱ)若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值;

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          已知數(shù)列{an}中,a1=1,且點(diǎn)P(an,an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上.

          (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

          (Ⅱ)若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值;

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          已知函數(shù)f(x)=的圖象過(guò)原點(diǎn),且關(guān)于點(diǎn)(-1,2)成中心對(duì)稱.
          (1)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1f(an),試證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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          一、選擇題:

          1.D  2.A 3  B  4.D 5.A 6.D 7.B 8.C 9.A  10.B  11.A  12.B

          二、填空題:

          13.12          14.    15   3          16.,①②③④    

          三、解答題:

          17.解:法(1):①∵=(1+cosB,sinB)與=(0,1)所成的角為

          與向量=(1,0)所成的角為                                                   

          ,即                                                   (2分)

          而B(niǎo)∈(0,π),∴,∴,∴B=。                               (4分)

          ②令A(yù)B=c,BC=a,AC=b

          ∵B=,∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=,∵a,c>0。             (6分)

          ∴a2+c2,ac≤     (當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立)

          ∴12=a2+c2-ac≥                                           (8分)

          ∴(a+c)2≤48,∴a+c≤,∴a+b+c≤+=(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào))

          故ΔABC的周長(zhǎng)的最大值為。                                                          (10分)

          法2:(1)cos<,>=cos

          ,                                                                                   (2分)

          即2cos2B+cosB-1=0,∴cosB=或cosB=-1(舍),而B(niǎo)∈(0,π),∴B=     (4分)

          (2)令A(yù)B=c,BC=a,AC=b,ΔABC的周長(zhǎng)為,則=a+c+

          而a=b?,c=b?                                      (2分)

          ==

          =                                (8分)

          ∵A∈(0,),∴A-,

          當(dāng)且僅當(dāng)A=時(shí),。                                         (10分)

           18.解法一:(1)∵PA⊥底面ABCD,BC平面AC,∴PA⊥BC

          ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC

          (2)∵AB∥CD,∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,又AD=CD=1

          ∴ΔADC為等邊三角形,且AC=1,取AC的中點(diǎn)O,則DO⊥AC,又PA⊥底面ABCD,

          ∴PA⊥DO,∴DO⊥平面PAC,過(guò)O作OH⊥PC,垂足為H,連DH

          由三垂成定理知DH⊥PC,∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角

          由OH=,DO=,∴tan∠DHO==2

          ∴二面角D-PC-A的大小的正切值為2。

          (3)設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d,又AB∥平面PCD

          ∴VA-PCD=VP-ACD,即

            即點(diǎn)B到平面PCD的距離為。

          19.解:(1)第一和第三次取球?qū)Φ谒拇螣o(wú)影響,計(jì)第四次摸紅球?yàn)槭录嗀

          ①第二次摸紅球,則第四次摸球時(shí)袋中有4紅球概率為

                                                                                      (2分)

          ②第二次摸白球,則第四次摸球時(shí)袋中有5紅2白,摸紅球概率為

                                                                                     (3分)

          ∴P(A)=,即第四次恰好摸到紅球的概率為。(6分)(注:無(wú)文字說(shuō)明扣一分)

          (2)由題設(shè)可知ξ的所有可能取值為:ξ=0,1,2,3。P(ξ=0)=;

          P(ξ=1)=;P(ξ=2)=

          P(ξ=3)=。故隨機(jī)變量ξ的分布列為:

          ξ

          0

          1

          2

            1. (10分)

              P

              ∴Eξ=(個(gè)),故Eξ=(個(gè))                                    (1

              20.解:(1),

              故數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列。

              ,…………………………………………4分

              (2),

              ②―①得,即

              ④―③得,即

              所以數(shù)列是等差數(shù)列……………………9分

              (3)………………………………11分

              設(shè),則

              …………13分

              21.解:(1)設(shè).

              整理得AB:bx-ay-ab=0與原點(diǎn)距離,又,

              聯(lián)立上式解得b=1,∴c=2,.∴雙曲線方程為.

              (2)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2)設(shè)CD中點(diǎn)M(x0,y0),

              ,∴|AC|=|AD|,∴AM⊥CD.

              聯(lián)立直線與雙曲線的方程得,整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,且.

              ,    ,

              ,∴AM⊥CD.

              ,整理得,

              且k2>0,,代入中得.

              .

              22.解:(1)∵(x)=3ax2+sinθx-2

              由題設(shè)可知:∴sinθ=1。(2分)

              從而a=,∴f(x)=,而又由f(1)=得,c=

              ∴f(x)=即為所求。                                                     (4分)

              (2)(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均為增函數(shù),在(-2,1)上為減函數(shù)。

              (i)當(dāng)m>1時(shí),f(x)在[m,m+3]上遞增。故f(x)max=f(m+3),f(x)min=f(m)

              由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。這與條件矛盾故舍。                                                                             (6分)

              (ii)當(dāng)0≤m≤1時(shí),f(x)在[m,1]上遞減,在[1,m+3]上遞增。

              ∴f(x)min=f(1),f(x)max={f(m),f(m+3)}max

              又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0(0≤m≤1),∴f(x)max=f(m+3)

              ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1) ≤f(4)-f(1)=恒成立

              故當(dāng)0≤m≤1原式恒成立。                                                                       (8分)

              綜上:存在m且m∈[0,1]合乎題意。                                                   (9分)

              (3)∵a1∈(0,1,∴a2,故a2>2

              假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),ak>2。則ak+1=f(ak)>f(2)=8>2

              故對(duì)于一切n(n≥2,n∈N*)均有an>2成立。                                    (11分)

              令g(x)=

              =

              當(dāng)x∈(0,2)時(shí)(x)<0,x∈(2,+∞)時(shí),(x)>0,

              ∴g(x)在x∈[2,+∞時(shí)為增函數(shù)。

              而g(2)=8-8ln2>0,即當(dāng)x∈[2,+∞時(shí),g(x)≥g(2)>0恒成立。

              ∴g(an)>0,(n≥2)也恒成立。即:an+1>8lnan(n≥2)恒成立。

              而當(dāng)n=1時(shí),a2=8,而8lna1≤0,∴a2>8lna1顯然成立。

              綜上:對(duì)一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                             

               

               

               

               

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