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設(shè)函數(shù)f(x)=,函數(shù)g(x)=x³+ax²-2x分別在x=m和x=n處取得極值,且m＜n.

(1)求f(m)·f(n)的值;

(2)求證:f(x)在區(qū)間［m,n］上是增函數(shù);

(3)設(shè)f(x)在區(qū)間［m,n］上的最大值和最小值分別為M和N,試問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí),M-N取得最小值?并求出這個(gè)最小值.

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第Ⅰ卷

一、填空題:

1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.; 4.;  5. 8;  6. (歷史) 5049; (物理) ; 7. 1; 8.

9.;10.; 11.; 12.;13.;14. 4.

二、解答題：

15. 解：（1）因?yàn)?sub>,所以…………（3分）

     得 （用輔助角得到同樣給分）              ………（5分）

     又,所以=           ……………………………………（7分）

（2）因?yàn)?sub>    ………………………（9分）

=                     …………………………………………（11分）

所以當(dāng)=時(shí), 的最大值為5＋4=9               …………………（13分）

故的最大值為3                     ………………………………………（14分）

16. (選歷史方向) 解: （1）表格為:

高  個(gè)

非高個(gè)

合  計(jì)

大  腳

5

2

7

非大腳

1

13

合  計(jì)

6

14

…… （3分）

（說(shuō)明:黑框內(nèi)的三個(gè)數(shù)據(jù)每個(gè)1分,黑框外合計(jì)數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤的暫不扣分）

（2）提出假設(shè)H₀: 人的腳的大小與身高之間沒(méi)有關(guān)系. …………………………… （4分）

根據(jù)上述列聯(lián)表可以求得.…………………… （7分）

當(dāng)H₀成立時(shí),的概率約為0.005,而這里8.802>7.879,

所以我們有99.5%的把握認(rèn)為: 人的腳的大小與身高之間有關(guān)系. ……………… （8分）

（3） ①抽到12號(hào)的概率為………………………………… （11分）

②抽到“無(wú)效序號(hào)（超過(guò)20號(hào)）”的概率為…………………… （14分）

(選物理方向) 解：（Ⅰ）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，

拋物線的解析式為． …………………………… 2′

由題意，知O（0，0），B（2，－10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為．……………   4′

或        …………………………… 8′

∵拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴,又∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0,

從而b＞0,故有       ……………………………9′           

∴拋物線的解析式為.   ……………………………10′

（Ⅱ）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為米時(shí)，

即時(shí)，， ……………………………12′

∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10－＝＜5，因此，此次跳水會(huì)失誤.………………14′

17. （1）證明：由直四棱柱,得,

所以是平行四邊形,所以         …………………（3分）

而,,所以面  ………（4分）

（2）證明：因?yàn)?sub>, 所以       ……（6分）

又因?yàn)?sub>,且，所以    ……… ……（8分）

而，所以               …………………………（9分）

（3）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí),平面平面…………………（10分）

取DC的中點(diǎn)N,,連結(jié)交于,連結(jié).

因?yàn)镹是DC中點(diǎn),BD=BC,所以；又因?yàn)镈C是面ABCD與面的交線,而面ABCD⊥面,

所以……………（12分）

又可證得,是的中點(diǎn),所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以O(shè)M平面,

因?yàn)镺M?面DMC₁,所以平面平面………………………（14分）

18. 解：（1）因?yàn)?sub>,所以c=1……………………（2分）

 則b=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………………………（4分）

（2）因?yàn)?sub>（1,1）,所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x（6分）

又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=－2,所以點(diǎn)Q（－2,4） …………………………（7分）

所以,又,所以,即,

故直線與圓相切……………………………………………………（9分）

（3）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線與圓保持相切              ………（10分）

證明:設(shè)（）,則,所以,,

所以直線OQ的方程為                     ……………（12分）

所以點(diǎn)Q（－2,）                                    ……………… （13分）

所以,

又,所以,即,故直線始終與圓相切……（15分）

19.⑴解：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，（）…… （2分）

若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間． ……………… （3分）

若，令，得，      

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，．  ……………… （5分）

有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間．   ……………… （6分）

⑵解:(i)若，在上單調(diào)遞增，所以．     ……… （7分）

若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以．     ……………… （9分）

若，在上單調(diào)遞減，所以．………… （10分）

綜上所述，    ……………… （12分）

（ii）令．若，無(wú)解．      ……………… （13分）

若，解得． ……………… （14分）

若，解得．       ……………… （15分）

故的取值范圍為．    ……………… （16分）

20. (1)數(shù)表中第行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為，則由題意可得

… （2分）

 (其中為第行數(shù)所組成的數(shù)列的公差)         (4分)

(2)

第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由(1)知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個(gè))都依次成等差數(shù)列.     ……………… （5分）

設(shè)第行的數(shù)公差為,則，則…………… （6分）

所以

                                           (10 分)

(3)由，可得

所以=   ……………… （11分）

令,則,所以 ………… （13分）

要使得，即，只要=，

，，所以只要,

即只要,所以可以令

則當(dāng)時(shí)，都有.

所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為                   (16分)

第Ⅱ卷（附加題 共40分）

1. （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,M的坐標(biāo)為,

則即為所求的軌跡方程.  …………（6分）

（2）由（1）知P的軌跡是以（）為圓心，半徑為的圓，易得RP的最小值為1

.……（10分）

2. ，|x－a|＜l，

，       …………………………………………………5分

= ………………………10分

3. 證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為

．

（1）解：因

所以，與所成的角余弦值為     …………………………………5分

（2）解：在上取一點(diǎn)，則存在使