數(shù)學(xué)英語物理化學(xué) 生物地理
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已知函數(shù)，且.
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
一、選擇題
1．選D。提示：在映射f作用下，四邊形ABCD整體平移，面積不變
2,4,6
3．選B。提示：3的對面的數(shù)字是6，4 的對面的數(shù)字是2，故。
4．選B。提示：設(shè)A∪B元素個數(shù)為y，可知10≤y≤16, y∈N，又由x = 18－y可得。
5．選A。提示： 可知為一條對稱軸。
6．選A。提示：依題意:課外興趣味小組由4名女生2名男生組成，共有種選法.其概率為
7．選C。提示：設(shè)代入得，記，
，，，。
8．選A。提示：
9．選B。提示：原方程兩邊立方并整理得，，顯然，，由于 在 上是增函數(shù)，且，，所以。
10．選C。提示：①正確；②正確，即為公垂線AB的中垂面；③正確，過AB中點(diǎn)作 的平行線，則的平分線符合條件；④不正確，關(guān)于對稱的兩條異面線段的中點(diǎn)與共線。
二、填空題
11．。提示：最小系數(shù)為。
12．。提示：，
13．11．提示：，，取。
14．。提示：由已知，，即，由線性規(guī)劃知識知，當(dāng)，時達(dá)到最大值。
15．。提示：令，則，因?yàn)?sub>，所以
0
1
2
。
17．。提示：令，得；令，得；令，得；令，得；故。
三、解答題
18．解：（I）
――――7分
（II）因?yàn)?sub>為銳角，且，所以。――――9分
――14分
19．解：（I）因?yàn)?sub>平面，
所以平面平面，
又，所以平面，
得，又
所以平面；――――4分
（II）因?yàn)?sub>，所以四邊形為
菱形，
故，又為中點(diǎn)，知。
取中點(diǎn)，則平面，從而面面，
過作于，則面，
在中，，故，
即到平面的距離為。――――9分
（III）過作于，連，則，
從而為二面角的平面角，
在中，，所以，
在中，，
故二面角的大小為。14分
解法2：（I）如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?sub>，
所以，又平面，
以為軸建立空間坐標(biāo)系，
則，，，
，，
，由，知，
又，從而平面；――――4分
（II）由，得。
設(shè)平面的法向量為，，，所以
，設(shè)，則
所以點(diǎn)到平面的距離。――9分
（III）再設(shè)平面的法向量為，，，
所以
，設(shè)，則，
故，根據(jù)法向量的方向，
可知二面角的大小為。――――14分
20．解：（I）設(shè)，則，因?yàn)?sub> ，可得；又由，
可得點(diǎn)的軌跡的方程為。――――6分（沒有扣1分）
（II）假設(shè)存在直線，代入并整理得
，――――8分
設(shè)，則 ――――10分
又
，解得或――――13分
特別地，若，代入得，，此方程無解，即。
綜上，的斜率的取值范圍是或。――――14分
21．解：（I）
（1）當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，
此時，，
，所以；――2分
（2）當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，此時，，
，所以；――――4分
（3）當(dāng)時，若，則，有；
若，則，有；
因此，，――――6分
而，
故當(dāng)時，，有；
當(dāng)時，，有；――――8分
綜上所述：。――――10分
（II）畫出的圖象，如右圖。――――12分
數(shù)形結(jié)合，可得。――――14分
22．解: (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.
（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時,
因?yàn)?<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).
又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<.
故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.――――4分
又由, 得,從而.
綜上可知――――6分
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,
由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).
又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.
因?yàn)?sub>,所以,即>0,從而――――10分
(Ⅲ) 因?yàn)?,所以, ,
所以 ――――① , ――――12分
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因?yàn)?sub>, n≥2,
所以 <<=――――② . ――――14分
由①② 兩式可知: .――――16分
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的定義域；
的定義域；
，且
.
的解析式；的單調(diào)區(qū)間和極值.
。
可知
為
一條對稱軸。
種選法.其概率為
代入
得
，記
，
，
，
，
。
，顯然，
，由于
在
上是增函數(shù)，且
，
，所以
。
作
的平行線
，則
對稱的兩條異面線段的中點(diǎn)與
。提示：最小系數(shù)為
。
。提示：
，
，
，取
。
。提示：由已知，
，即
，由線性規(guī)劃知識知，當(dāng)
，
時
達(dá)到最大值
。提示：令
，則
，因?yàn)?sub>
，所以
。
。提示：令
，得
；令
，得
；令
，得
；令
，得
；故
――――7分
為銳角，且
，所以
。――――9分
――14分
19．解：（I）因?yàn)?sub>
平面
，
平面
，所以
平面
，
，又
平面
；――――4分
，所以四邊形
，又
為
中點(diǎn)，知
。
中點(diǎn)
，則
平面
，從而面
面
作
于
，則
面
，
中，
，故
，
到平面
于
，連
，則
，
為二面角
的平面角，
中，
，所以
，
中，
，
故二面角
。14分
，則
，因?yàn)?sub>
，又
為
軸建立空間坐標(biāo)系，
，
，
，
，
，
，
，
，由
，知
，
，得
。
，
，
，所以
，設(shè)
，則
到平面
。――9分
，
，
，設(shè)
，
，根據(jù)法向量的方向，
。――――14分
，則
，因?yàn)?sub>
，可得
；又由
，
。――――6分（沒有
扣1分）
，代入
并整理得
，――――8分
，則
――――10分
，解得
或
――――13分
，代入
，此方程無解，即
的斜率的取值范圍是
時，函數(shù)
是
增函數(shù)，
，
，所以
；――2分
時，函數(shù)
，
，所以
；――――4分
時，若
，則
，有
；
，則
，有
；
，――――6分
，
時，
；
時，
；――――8分
綜上所述：
。――――10分
的圖象，如右圖。――――12分
。――――14分
,
.
.則當(dāng)n=k+1時,
,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).
上連續(xù),所以f(0)<f(
)<f(1),即0<
. 
,從而
.
――――6分
-f(x)= 
, 0<x<1,
,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).
,即
>0,從而
――――10分
,所以
,
, 
――――① , ――――12分
知:
, 所以
=
,
, n≥2, 
<
<
=
――――② . ――――14分
.――――16分