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        1. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)系中.直線ρsin(θ+)=2被圓ρ=4截得的弦長(zhǎng)為 . 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計(jì)20分.
          A選修4-1:幾何證明選講
          如圖,延長(zhǎng)⊙O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線,E是切點(diǎn),過點(diǎn)B作DE的垂線,垂足為點(diǎn)C.
          求證:∠ACB=
          1
          3
          ∠OAC.
          B選修4-2:矩陣與變換
          已知矩陣A=
          .
          11
          21
          .
          ,向量
          β
          =
          1
          2
          .求向量
          a
          ,使得A2
          a
          =
          β

          C選修4-3:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
          a
          3cos2θ+4sin2θ
          ,焦距為2,求實(shí)數(shù)a的值.
          D選修4-4:不等式選講
          已知函數(shù)f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+
          (a+b+c)2
          3
          (a,b.c為實(shí)數(shù))的最小值為m,若a-b+2c=3,求m的最小值.

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          [選做題]在下面A,B,C,D四個(gè)小題中只能選做兩題,每小題10分,共20分.
          A.選修4-1:幾何證明選講
          如圖,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點(diǎn)E,連接BE與AC交于點(diǎn)F,判斷BE是否平分∠ABC,并說明理由.
          B.選修4-2:短陣與變換
          已知矩陣M=
          1
          2
          0
          02
          ,矩陣M對(duì)應(yīng)的變換把曲線y=sinx變?yōu)榍C,求C的方程.
          C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sin(θ+
          π
          4
          )
          ,求曲線C的普通方程.
          D.選修4-5:不等式選講
          已知x,y,z∈R,且x+y+z=3,求x2+y2+z2的最小值.

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          (選做題)在直角坐標(biāo)系xOy 中,曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)),M是C1上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)滿足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2
          (Ⅰ)求C2的方程
          (Ⅱ)在以O為極點(diǎn),x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求.

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          選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計(jì)20分.
          A選修4-1:幾何證明選講
          如圖,延長(zhǎng)⊙O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線,E是切點(diǎn),過點(diǎn)B作DE的垂線,垂足為點(diǎn)C.
          求證:∠ACB=∠OAC.
          B選修4-2:矩陣與變換
          已知矩陣A=,向量.求向量,使得A2=
          C選修4-3:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=,焦距為2,求實(shí)數(shù)a的值.
          D選修4-4:不等式選講
          已知函數(shù)f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+(a,b.c為實(shí)數(shù))的最小值為m,若a-b+2c=3,求m的最小值.

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          [選做題]在下面A,B,C,D四個(gè)小題中只能選做兩題,每小題10分,共20分.
          A.選修4-1:幾何證明選講
          如圖,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點(diǎn)E,連接BE與AC交于點(diǎn)F,判斷BE是否平分∠ABC,并說明理由.
          B.選修4-2:短陣與變換
          已知矩陣,矩陣M對(duì)應(yīng)的變換把曲線y=sinx變?yōu)榍C,求C的方程.
          C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知曲線C的極坐標(biāo)方程是,求曲線C的普通方程.
          D.選修4-5:不等式選講
          已知x,y,z∈R,且x+y+z=3,求x2+y2+z2的最小值.

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          一、選擇題:本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共10小題,每小題5分,

          滿分50分.

          題號(hào)

          1

          2

          3

          4

          5

          6

          7

          8

          9

          10

          答案

          B

          A

          B

          C

          B

          D

          A

          D

          D

          C

          二、填空題:本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 本大題共5小題,每小

          題5分,滿分20分.其中14~15題為選做題,考生只能選做一題. 第十二題的第一個(gè)空2分,第二個(gè)空3分.

          11. ;    12. 1, 2n-1;         13. 80;   14.;      15.1.

          三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

          16.(本小題滿分12分)

          某校高三年級(jí)要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加

          學(xué)校的演講比賽.

          (1)求男生a被選中的概率; (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率.

          解:從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表選法是:

          a,b,c;a,b,d;a,b,e;a,c,d;a,c,e;a,d,e;b,c,d;

          b,c,e;b,d,e;c,d,e共10種.                    ……4分

          (1)男生a被選中的選法是:a,b,c;a,b,d;a,b,e;a,c,d;a,c,e;a,d,e,共6種,于是男生a被選中的概率為.  ……8分

          (2) 男生a和女生d至少一人被選中的選法是:a,b,c;a,b,d;a,b,e;a,c,d;a,c,e;a,d,e;b,c,d;b,d,e;c,d,e共9種,

          故男生a和女生d至少一人被選中的概率為.           ……12分                           

          17.(本小題滿分14分)

          已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=2, cosB=

          (1)若b=4,求sinA的值; (2) 若△ABC的面積S△ABC=4,求b,c的值.

           

          解:(1) ∵cosB=>0,且0<B<π,

          ∴sinB=.                              ……2分

          由正弦定理得,                          ……4分

           .                           ……6分

          (2) ∵S△ABC=acsinB=4,                             ……8分

           ∴,  ∴c=5.                      ……10分

          由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,

          .……14分

          18.(本小題滿分14分) 如圖4,A1A是圓柱的母線,AB是圓柱底面圓的直徑, C是底面圓周上異于A,B的任意一點(diǎn),A1A= AB=2.

          (1)求證: BC⊥平面A1AC;

          (2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.

           

          證明:∵C是底面圓周上異于A,B的任意一點(diǎn),

          且AB是圓柱底面圓的直徑,

          ∴BC⊥AC,                  ……2分

          ∵AA1⊥平面ABC,BCÌ平面ABC,

          ∴AA1⊥BC,                ……4分

          ∵AA1∩AC=A,AA1Ì平面AA1 C,

          ACÌ平面AA1 C,

                                      ∴BC⊥平面AA1C.           ……6分

           

          (2)解法1:設(shè)AC=x,在Rt△ABC中,

          (0<x<2) ,                     ……7分

          (0<x<2),

          ……9分

           

          . ……11分

          ∵0<x<2,0<x2<4,∴當(dāng)x2=2,即時(shí),

          三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.                       ……14分

          解法2: 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2=4,                  ……7分

                          ……9分

          .               ……11分

          當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)AC=BC=.

          ∴三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.                     ……14分

          19. (本小題滿分14分)

          設(shè)A(x1,x2)、B(x2,y2)是拋物線x2=4y上不同的兩點(diǎn),且該拋物線在點(diǎn)A、B處的兩條切線相交于點(diǎn)C,并且滿足.

          (1)求證:x1?x2=-4;

          (2)判斷拋物線x2=4y的準(zhǔn)線與經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

          (1) 證明:由x2=4y得,則,

          ∴拋物線x2=4y在點(diǎn)A(x1,x2)、B(x2,y2)處的切線的斜率分別為,

          ……2分

          ,∴,                            ……4分

          ∴拋物線x2=4y在點(diǎn)A(x1,x2)、B(x2,y2)處兩切線互相垂直,

          ,∴x1?x2=-4.                             ……6分

          (2) 解法1: ∵,∴,

          ∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D,

          圓心D,                            ……8分

          ∵拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1, ∴點(diǎn)D到直線

          y=-1的距離為,                       ……10分

          ∵經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑

          由于x12=4y1,x22=4y2,且x1?x2=-4,則,

          ,                         ……12分

          ∴d=r,∴拋物線x2=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

          解法2:由(1)知拋物線x2=4y在點(diǎn)A(x1,x2)處的切線的斜率為

          又x12=4y1,∴切線AC所在直線方程為,

                                        ①      ……8分

          同理可得切線BC所在直線方程為  ②

          由①,②得點(diǎn)C的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)yC=-1,即

          ……10分

          ,∴,

          ∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D,

          圓心D,

          ∵拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1,

          ∴點(diǎn)D到直線y=-1的距離為,            ……12分                 

          ∵經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑r=|CD|=,

          ∴d=r,∴拋物線x2=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

          20. (本小題滿分12分)

          某車間有50名工人,要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù),每件產(chǎn)品由3個(gè)A 型零件和1個(gè)B 型零件配套組成. 每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A 型零件或者3個(gè)B 型零件,現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整),每組加工同一中型號(hào)的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N*)

          (1)設(shè)完成A 型零件加工所需時(shí)間為f(x)小時(shí),寫出f(x)的解析式;

          (2)為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù),x應(yīng)取何值?

          (本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí))

          解:(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品,需加工A型零件450個(gè),則完成A型零件加工所需時(shí)間(x∈N*,且1≤x≤49).              ……2分   

          (2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品,需加工B型零件150個(gè),則完成B型零件加工所需時(shí)間(x∈N*,且1≤x≤49).            ……4分設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h(x)小時(shí),則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者,

          令f(x)≥g(x),則,解得,

          所以,當(dāng)1≤x≤32時(shí),f(x)>g(x);當(dāng)33≤x≤492時(shí),f(x)<g(x).

                           ……6分

          當(dāng)1≤x≤32時(shí),,故h(x)在[1,32]上單調(diào)遞減,

          則h(x)在[1,32]上的最小值為(小時(shí));       ……8分

          當(dāng)33≤x≤49時(shí),,故h(x)在[33,49]上單調(diào)遞增,

          則h(x)在[33,49]上的最小值為(小時(shí)); ……10分

          ∵h(yuǎn)(33)> h(32),∴h(x)在[1,49]上的最小值為h(32), ∴x=32.

          答:為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù),x應(yīng)取32.        ……12分

          21. (本小題滿分14分)

          已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an,an+1是關(guān)于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根,且a1=1.

          (1)求證:數(shù)列{ an×2n}是等比數(shù)列;

          (2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,問是否存在常數(shù)λ,使得bn-λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.     

          (本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力)

          (1)證法1:∵an,an+1是關(guān)于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根,

                                                  ……2分

          由an+an+1=2n,得,故數(shù)列

          是首項(xiàng)為,公比為-1的等比數(shù)列.                 ……4分

          證法2:∵an,an+1是關(guān)于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根,

                                                  ……2分

          ,

          故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為-1的等比數(shù)列.             

             ……4分

          (2)解:由(1)得,即,

                                       ……6分

          ∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n]

          ,                        ……8分

          要使得bn-λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立,

          對(duì)任意n∈N*都成立.

          ①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),由(*)式得,

          ,

          ∵2n+1-1>0,∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

          當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),有最小值1,∴λ<1.           ……10分

          ①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),由(*)式得

          ,

          ∵2n+1-1>0,∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

          當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),有最小值1,∴λ<1.           ……10分

          ②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),由(*)式得,

          ∵2n-1>0,∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.

          當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),有最小值1.5,∴λ<1.5.      ……12分

          綜上所述,存在常數(shù)λ,使得bn-λSn>0對(duì)任意n∈N*都成立,λ的取值范圍是(-∞,1).                                            ……14分


          同步練習(xí)冊(cè)答案