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已知f（x）=log

1

2

x，當(dāng)點(diǎn)M（x，y）在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N（x-2，ny）在函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表達(dá)式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)Hn(x)=2gn(x)，函數(shù)F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域?yàn)?span mathtag="math" >[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求實(shí)數(shù)a，b的值．

已知函數(shù)f(x)=cos(x-

π

4

)．先把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)向左平移

π

4

個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）寫出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）已知f(α)=

3

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)，求f（2α）的值；
（3）設(shè)g₁（x），g₂（x）是定義域?yàn)镽的兩個(gè)函數(shù)，滿足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常數(shù)，且θ∈[0，π]．請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)y=g₁（x），給出一個(gè)相應(yīng)的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以證明．