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定義：將一個數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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定義：將一個數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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（09年雅禮中學(xué)月考理）（13分）

定義：將一個數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為．

   （１）試求無窮等比子數(shù)列（）各項(xiàng)的和；

   （２）已知數(shù)列的一個無窮等比子數(shù)列各項(xiàng)的和為，求這個子數(shù)列的通項(xiàng)公式；

   （３）證明：在數(shù)列的所有子數(shù)列中，不存在兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

2

題號

7

8

9

10

11

答案

4

8.3

②、③

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

15

答案

A

C

B

B

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16.（理）解：設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

    推出．

依題意可知，當(dāng)時，取得最小值．而，

故有，解得．

又點(diǎn)在橢圓的長軸上，即. 故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

…2

…6

…8

…10

…12

16.（文）解：由條件，可得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

         ,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時點(diǎn)坐標(biāo)為.

…2

…6

…8

…10

…12

17. 解：（1）當(dāng)時，；

當(dāng)且時，；

當(dāng)時，；（不單獨(dú)分析時的情況不扣分）

當(dāng)時，.

（2） 由（1）知：當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)無限；

當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集.

因?yàn)?sub>，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

所以當(dāng)時，集合的元素個數(shù)最少.

此時，故集合.

…2

…4

…6

…8

…12

…14

18.(理) （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè).

依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，，.

    于是，，.

 由，則異面直線與所成角的大小為.

（2）解：連結(jié).  由，是的中點(diǎn)，得;

由面，面，得.

又，因此面

由直三棱柱的體積為.可得.

所以，四棱錐的體積為

.

…3

…7

…9

…11

…13

…15

18. （文）（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 （2）解：如圖所示. 由，，則面.所以，四棱錐的體積為.

…3

…6

…10

…15

19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12.

由此可得，；

由規(guī)律②可知，，

；

又當(dāng)時，，

所以，，由條件是正整數(shù)，故取.

 綜上可得，符合條件.

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，.

因?yàn)?sub>，，所以當(dāng)時，，

故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

解法二：列表，用計(jì)算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數(shù)

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

…3

…6

…9

…10

…12

…14

…16

…15

…16

20.解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：

     ；

  （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，

其通項(xiàng)公式為，.

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.

由………… ①

又若，則對每一都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為無窮等比子數(shù)列，通項(xiàng)公式為，.

…4

…7

…9

…10

…7

…9

…10

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

①………… ②

1當(dāng)時，②，等式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾；

2當(dāng)時，②

或

   ，

兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計(jì)分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當(dāng)時，上述等式成立。例如取，，得：

第一個子數(shù)列：，各項(xiàng)和；第二個子數(shù)列：，

各項(xiàng)和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個數(shù)列的各項(xiàng)和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分.若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個層級評分】

問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由. 解（略）：存在。

問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由. 解（略）：不存在.

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計(jì)，可得設(shè)計(jì)分5分。解答分最高7分】

2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（文科）2008.12

說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,則            .

2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為              .

3. 已知函數(shù)，則          .

4. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則