題目列表(包括答案和解析)
,
,
為常數(shù),離心率為
的雙曲線
:
上的動(dòng)點(diǎn)
到兩焦點(diǎn)的距離之和的最小值為
,拋物線
:
的焦點(diǎn)與雙曲線
的一頂點(diǎn)重合。(Ⅰ)求拋物線
的方程;(Ⅱ)過直線
:
(
為負(fù)常數(shù))上任意一點(diǎn)
向拋物線
引兩條切線,切點(diǎn)分別為
、
,坐標(biāo)原點(diǎn)
恒在以
為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為
,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為
,所以拋物線
的方程
第二問中,為
,
,
,
故直線的方程為
,即
,
所以,同理可得:
借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即,
是方程
的兩個(gè)不同的根,所以
由已知易得,即
解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為
,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為
,所以拋物線
的方程
(Ⅱ)設(shè)為
,
,
,
故直線的方程為
,即
,
所以,同理可得:
,
即,
是方程
的兩個(gè)不同的根,所以
由已知易得,即
已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓
的離心率為
,且經(jīng)過點(diǎn)
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存過點(diǎn)(2,1)的直線
與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為
,由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因?yàn)橹本與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,設(shè)
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
所以
所以.解得。
解:⑴設(shè)橢圓的方程為
,由題意得
解得,故橢圓
的方程為
.……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因?yàn)橹本與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,設(shè)
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
所以
所以.
又,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">,即,
所以.
即.
所以,解得
.
因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn),所以k=1/2.
于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x
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