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在北京奧運會期間，4位志愿者計劃在長城、故宮、天壇和天安門等4個景點服務，已知每位志愿者在每個景點服務的概率都是

1

4

，且他們之間不存在相互影響．
（1）求恰有3位志愿者在長城服務的概率；
（2）設在故宮服務的志愿者人數為X，求X的概率分布列及數學期望．

已知函數 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實數a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

第一問中，利用當時，．

因為切點為（）， 則，                 

所以在點（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當時，．

，                                  

因為切點為（）， 則，                  

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當時，在上恒成立，

故在上單調遞增，

即．                  ……10分

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又    

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去  

②當時，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

為了解高中一年級學生身高情況，某校按10%的比例對全校700名高中一年級學生按性別進行抽樣檢查，測得身高頻數分布表如下表1、表2．

表1：男生身高頻數分布表

 

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
頻數	2	5	14	13	4	2

 

表2：女生身高頻數分布表

 

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
頻數	1	7	12	6	3	1

 

（I）求該校男生的人數并完成下面頻率分布直方圖；

（II）估計該校學生身高在的概率；

（III）從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185190cm之間的概率。

【解析】第一問樣本中男生人數為40 ，

由分層抽樣比例為10%可得全校男生人數為400

（2）中由表1、表2知，樣本中身高在的學生人數為：5+14+13+6+3+1=42，樣本容量為70 ，所以樣本中學生身高在的頻率 

故由估計該校學生身高在的概率 

（3）中樣本中身高在180185cm之間的男生有4人，設其編號為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人，設其編號為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹狀圖，故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結果數為15，求至少有1人身高在185190cm之間的可能結果數為9，因此，所求概率

由表1、表2知，樣本中身高在的學生人數為：5+14+13+6+3+1=42，樣本容量為70 ，所以樣本中學生身高在

的頻率-----------------------------------------6分

故由估計該校學生身高在的概率．--------------------8分

（3）樣本中身高在180185cm之間的男生有4人，設其編號為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人，設其編號為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹狀圖為：

--10分

故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結果數為15，求至少有1人身高在185190cm之間的可能結果數為9，因此，所求概率