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以平面直角坐標(biāo)系xoy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+）+，曲線C₁的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）若把曲線C₁上每一點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再把得到的圖象向右平移一個單位，得到曲線C₂，求曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）在第（1）問的條件下，若直線l與曲線C₂相交于M，N兩點，求M，N兩點間的距離．

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如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，E為邊BC上的動點．
（1）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF
（2）當(dāng)BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°
（3）在（2）問的條件下，求P點到角AEF的距離．

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已知，在水平平面α上有一長方體AC₁繞BC旋轉(zhuǎn)90⁰得到如圖所示的幾何體．
（Ⅰ）證明：平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂；
（Ⅱ）當(dāng)AB=BC=1時，直線CB₂與平面ADC₁B₁所成的角的正弦值為

3

4

，求AA₁的長度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中，平面BCC₁B₁與平面α所成的角為θ，長方體AC₁的最高點離平面α的距離為f（θ），請直接寫出f（θ）的一個表達(dá)式，并注明定義域．

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當(dāng)時，

∴當(dāng)時，即時，是減函數(shù)

當(dāng)時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當(dāng)時，取的中點，連接，因為為正三角形，則，由于為的中點時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當(dāng)時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結(jié)，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設(shè)到面的距離為，則,平面,

即為點到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當(dāng)時，點的坐標(biāo)是

設(shè)平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設(shè)到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，…………………………8分

故或或

或或，或或

實數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)

由于，故切線的方程是：，又由于點在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點.………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.………………………………………………………………10分

設(shè)

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗知時，結(jié)論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數(shù)），則當(dāng)時，. ………………………………………………………14分