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．（本小題滿分l4分）已知函數(shù)有唯一的零點(diǎn).
（1）求的表達(dá)式；
（2）若在區(qū)間上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若在區(qū)間上的最大值為4，求的值。

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一、填空題：

 1．；             2．；               3．；         4．；          5．；

6．；      7．              8．；      9．21；                      10．；

11．；12．；           13．；       14．

二、解答題：

15．（1）編號(hào)為016；                     ----------------------------3分

（2）

分組

頻數(shù)

頻率

60.5~70.5

8

0.16

70.5~80.5

10

0.20

80.5~90.5

18

0.36

90.5~100.5

14

0.28

合計(jì)

50

1

  ------------- ----------------------------8分

（3）在被抽到的學(xué)生中獲二獎(jiǎng)的人數(shù)是9+7=16人，

占樣本的比例是，即獲二等獎(jiǎng)的概率約為32%，

所以獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)估計(jì)為800×32%=256人。有   ------------------------13分

答：獲二等獎(jiǎng)的大約有256人。       -----------------------------------14分

16．解：（1） B=60⁰，A＋C＝120⁰， C＝120⁰ －A，

∴ sinA－sinC＋ cos（A－C）

＝sinA－ cosA＋［1－2sin²（A－60°）］=，

∴sin（A－60°）［1－ sin（A－60°）］＝0?      -------------------------4分

∴sin（A－60°）＝0或sin（A－60°）＝， 又0°＜A＜120°，

∴A＝60°或105°．???                          -------------------------8分

(2) 當(dāng)A＝60°時(shí)，Ｓ_△＝ａcsinB＝×4Ｒ²sin³60°＝         ------------11分

當(dāng)A＝105°時(shí),?S_△＝×4Ｒ²?sin105°sin15°sin60°＝  ----------------14分

17．解：（1）如四面體A₁-ABC或四面體C₁-ABC或四面體A₁-ACD或四面體C₁-ACD； ---4分

（2）如四面體B₁-ABC或四面體D₁-ACD；        -------------------------8分

（3）如四面體A-B₁CD₁（3分 ）；              -------------------------11分

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則 ．---------14分

18．（1）如圖，由光學(xué)幾何知識(shí)可知，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在過點(diǎn)且傾斜角為的直線上。在中，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，   ----4分

又橢圓的半焦距，∴，

∴所求橢圓的方程為．             -----------------------------7分

   （2）路程最短即為上上的點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)最短，由幾何知識(shí)可知，應(yīng)為過原點(diǎn)且與垂直的直線與的交點(diǎn)，這一點(diǎn)又與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．                                 -------------------------15分

注：用代數(shù)方法求解同樣分步給分！

19． 解：（1）若，對(duì)于正數(shù)，的定義域?yàn)?sub>，但 的值域，故，不合要求．  --------------------------2分

若，對(duì)于正數(shù)，的定義域?yàn)?sub>． -----------------3分

由于此時(shí)，

故函數(shù)的值域．    ------------------------------------6分

由題意，有，由于，所以．------------------8分

20．解：（1）依題意數(shù)列的通項(xiàng)公式是，

故等式即為，

同時(shí)有，

兩式相減可得 ------------------------------3分

可得數(shù)列的通項(xiàng)公式是，

知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。 ---------------------------4分

（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，從而有：

，

又，

故          -----------------------------6分

，

要使是與無關(guān)的常數(shù)，必需，  ----------------------------8分

即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是；

②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列．    ------------9分

（3）由（2）知，    ------------------------------------------10分

  --------------14分

    ----------------------------16分