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        1. (A) (B)隨機(jī)變量ξ的期望與標(biāo)準(zhǔn)差均為1 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片,卡片上分別標(biāo)有數(shù)-i,i,-2,2其中i是虛數(shù)單位.稱“從盒中隨機(jī)抽取一張,記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗(設(shè)每次試驗的結(jié)果互不影響).
          (1)求事件A“在一次試驗中,得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率P(A)與事件B“在四次試驗中,至少有兩次得到虛數(shù)”的概率P(B);
          (2)在兩次試驗中,記兩次得到的數(shù)分別為a,b,求隨機(jī)變量ξ=|a•b|的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ.

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          據(jù)IEC(國際電工委員會)調(diào)查顯示,小型風(fēng)力發(fā)電項目投資較少,且開發(fā)前景廣闊,但受風(fēng)力自然資源影響,項目投資存在一定風(fēng)險.根據(jù)測算,風(fēng)能風(fēng)區(qū)分類標(biāo)準(zhǔn)如下:

          假設(shè)投資A項目的資金為≥0)萬元,投資B項目資金為≥0)萬元,調(diào)研結(jié)果是:未來一年內(nèi),位于一類風(fēng)區(qū)的A項目獲利的可能性為,虧損的可能性為;位于二類風(fēng)區(qū)的B項目獲利的可能性為,虧損的可能性是,不賠不賺的可能性是.
          (1)記投資A,B項目的利潤分別為,試寫出隨機(jī)變量的分布列和期望,;
          (2)某公司計劃用不超過萬元的資金投資于A,B項目,且公司要求對A項目的投
          資不得低于B項目,根據(jù)(1)的條件和市場調(diào)研,試估計一年后兩個項目的平均利
          潤之和的最大值.

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          據(jù)IEC(國際電工委員會)調(diào)查顯示,小型風(fēng)力發(fā)電項目投資較少,且開發(fā)前景廣闊,但受風(fēng)力自然資源影響,項目投資存在一定風(fēng)險.根據(jù)測算,風(fēng)能風(fēng)區(qū)分類標(biāo)準(zhǔn)如下:

          假設(shè)投資A項目的資金為≥0)萬元,投資B項目資金為≥0)萬元,調(diào)研結(jié)果是:未來一年內(nèi),位于一類風(fēng)區(qū)的A項目獲利的可能性為,虧損的可能性為;位于二類風(fēng)區(qū)的B項目獲利的可能性為,虧損的可能性是,不賠不賺的可能性是.
          (1)記投資A,B項目的利潤分別為,試寫出隨機(jī)變量的分布列和期望,
          (2)某公司計劃用不超過萬元的資金投資于A,B項目,且公司要求對A項目的投
          資不得低于B項目,根據(jù)(1)的條件和市場調(diào)研,試估計一年后兩個項目的平均利
          潤之和的最大值.

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          指針位置A區(qū)域B區(qū)域C區(qū)域
          返存金額(單位:元)60300
          五一節(jié)期間,某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下:消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如
          圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券.(假定指針等可能地停在任一位置,指針落在區(qū)域的邊界時,重新轉(zhuǎn)一次)指針?biāo)诘膮^(qū)域及對應(yīng)的返劵金額見右上表.
          例如:消費218元,可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
          (1)已知顧客甲消費后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會,已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p,每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨立,設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù),ξ的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)公式,標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)公式,求n、p的值;
          (2)顧客乙消費280元,并按規(guī)則參與了活動,他獲得返券的金額記為η(元).求隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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          指針位置A區(qū)域B區(qū)域C區(qū)域
          返存金額(單位:元)6030
          五一節(jié)期間,某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下:消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如
          圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券.(假定指針等可能地停在任一位置,指針落在區(qū)域的邊界時,重新轉(zhuǎn)一次)指針?biāo)诘膮^(qū)域及對應(yīng)的返劵金額見右上表.
          例如:消費218元,可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
          (1)已知顧客甲消費后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會,已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p,每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨立,設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù),ξ的數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)差,求n、p的值;
          (2)顧客乙消費280元,并按規(guī)則參與了活動,他獲得返券的金額記為η(元).求隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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          一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.

          1-5:DBADC; 6-10:BACDC; 11-12: BC.

          二、填空題:本大題共4個小題,每小題4分,共16分.

          13.3; 14.-4; 15.1; 16.

          三、解答題:本大題共6個小題,共74分.解答要寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

           

          17.解:(Ⅰ)∵l1∥l2,

          ,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

          .????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

          (Ⅱ)∵,

          ,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時。ⅲ剑ⅲ??????????? 8分

          ,∴,?????????????????????????????????????????? 10分

          ,當(dāng)且僅當(dāng)時取"=".

          故△ABC面積取最大值為.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

           

          18.解:(Ⅰ)ξ=3表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3.

          ①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率;??????????????????????????????????????? 1分

          ②三次取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率;???????????????????? 3分

          ③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率.????????????????? 5分

          ∴P(ξ=3)=P1+P2+P3=.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

          (Ⅱ)在ξ=k時, 利用(Ⅰ)的原理可知:

          (k=1、2、3、4).???????? 8分

          則ξ的概率分布列為:

          ξ

          1

          2

          3

          4

          P

          ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

          ∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×+2×+3×+4× = .???????????????????????????????? 12分

           

          19.(Ⅰ)證明:∵四邊形AA1C1C是菱形,∴AA1=A1C1=C1C=CA=1,∴△AA1B是等邊三角形,設(shè)O是AA1的中點,連接BO,則BO⊥AA1. 2分

          ∵側(cè)面ABB1A1⊥AA1C1C,∴BO⊥平面AA1C1C,菱形AA1C1C面積為,知C到AA1的距離為,,∴△AA1C1是等邊三角形,且C1O⊥AA1,又C1O∩BO=O.

          ∴AA1⊥面BOC1,又BC1Ì面BOC1.∴AA1⊥BC1.???????????????????????????????????????????? 4分

          (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知OA、OC1、OB兩兩垂直,以O(shè)為原點,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則,,,.則,.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

          設(shè)是平面ABC的一個法向量,

          ,則.設(shè)A1到平面ABC的距離為d.

          .??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

          (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知平面ABC的一個法向量是,又平面ACC1的一個法向量.   9分

          .???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

          ∴二面角B-AC-C1的余弦值是.???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

           

          20.解:(Ⅰ),對稱軸方程為,故函數(shù)在[0,1]上為增函數(shù),∴.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

          當(dāng)時,.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

                      ①

                 ②

          ②-①得,即,?????????????????????????????????????????????????? 4分

          ,∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.

          ,∴.?????????????????????????????????????????????????? 6分

          (Ⅱ)∵,∴

          ???????????????????????????????????????????????????????? 7分

          可知:當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,

          ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

          可知存在正整數(shù)或6,使得對于任意的正整數(shù)n,都有成立.???????????? 12分

           

          21.解:(Ⅰ)設(shè),,

          ,,,

          ,,

          .∵

          ,∴,∴.??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

          則N(c,0),M(0,c),所以,

          ,則,

          ∴橢圓的方程為.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

          (Ⅱ)∵圓O與直線l相切,則,即,????????????????????????????????? 5分

          消去y得

          ∵直線l與橢圓交于兩個不同點,設(shè)

          ,

          ,???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

          ,

          ,,.?????????????????? 8分

          .???????????????????????????????????????? 9分

          (或).

          設(shè),則,,

          ,則,

          時單調(diào)遞增,????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

          ∴S關(guān)于μ在區(qū)間單調(diào)遞增,,

          .??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

          (或,

          ∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增,?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

          ,.)????????????????????????????????????????????????????????? 12分

           

          22.解:(Ⅰ)因為,,則,     1分

          當(dāng)時,;當(dāng)時,

          上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,

          ∴函數(shù)處取得極大值.????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

          ∵函數(shù)在區(qū)間(其中)上存在極值,

          解得.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

          (Ⅱ)不等式,即為,?????????????????????????????????????????? 4分

          ,∴,??????? 5分

          ,則,∵,∴,上遞增,

          ,從而,故上也單調(diào)遞增,

          ,

          .???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

          (Ⅲ)由(Ⅱ)知:恒成立,即,??????????? 8分

          ,????????????????????????????????????????????????????? 9分

          ,

          ,

          ………

          ,?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

          疊加得:

          .???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

          ,

          .????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           


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