題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分14分)
已知實(shí)數(shù),曲線
與直線
的交點(diǎn)為
(異于原點(diǎn)
),在曲線
上取一點(diǎn)
,過點(diǎn)
作
平行于
軸,交直線
于點(diǎn)
,過點(diǎn)
作
平行于
軸,交曲線
于點(diǎn)
,接著過點(diǎn)
作
平行于
軸,交直線
于點(diǎn)
,過點(diǎn)
作
平行于
軸,交曲線
于點(diǎn)
,如此下去,可以得到點(diǎn)
,
,…,
,… . 設(shè)點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,
.
(Ⅰ)試用表示
,并證明
;
(Ⅱ)試證明,且
(
);
(本題滿分14分)
已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)
處的切線方程為
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若方程在
內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,求
的取值范圍(其中
為自然對數(shù)的底數(shù));
(Ⅲ)令,若
的圖象與
軸交于
,
(其中
),
的中點(diǎn)為
,求證:
在
處的導(dǎo)數(shù)
.
(本題滿分14分)
已知曲線方程為
,過原點(diǎn)O作曲線
的切線
(1)求的方程;
(2)求曲線,
及
軸圍成的圖形面積S;
(本題滿分14分)
已知中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓,左焦點(diǎn),一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)
(1)求橢圓方程;
(2)直線過橢圓的右焦點(diǎn)
交橢圓于A、B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB面積最大時(shí),求直線
方程。
(本題滿分14分)
如圖,在直三棱柱中,
,
,求二面角
的大小。
一、選擇題:本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算.共10小題,每小題5分,滿分50分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空題:本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算.本大題共5小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分20分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.
11.
12.
13.
14.
15.2
說明:第14題答案可以有多種形式,如可答或
Z)等, 均給滿分.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
解:(1)∵
.
6分
∴.
8分
(2) 當(dāng)時(shí),
取得最大值, 其值為2 . ……………………10分
此時(shí),即
Z
. ……………………12分
17. (本小題滿分12分)
解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學(xué)生總數(shù)為人. ………… 3分
∵各班被抽取的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)其公差為,
由=100,解得
. …………………………………… 6分
∴各班被抽取的學(xué)生人數(shù)分別是22人,24人,26人,28人. …… 8分
(2) 在抽取的學(xué)生中,任取一名學(xué)生, 則分?jǐn)?shù)不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………………………12分
18.(本小題滿分14分)
解:(1)∵ ⊥平面
,
平面
,
∴
⊥
.
………………………………………………2分
∵
⊥
,
,
∴
⊥平面
, ……………………………………………………4分
∵
平面
,
∴
⊥
. …………………………………………………………6分
(2)法1: 取線段
的中點(diǎn)
,
的中點(diǎn)
,連結(jié)
,
則是△
中位線.
∴∥
,
, …………………………8分
∵
,
,
∴.
∴
四邊形是平行四邊形, …………………………10分
∴ .
∵ 平面
,
平面
,
∴ ∥平面
. …………………………………… 13分
∴
線段的中點(diǎn)
是符合題意要求的點(diǎn). ……………………………………14分
法2: 取線段的中點(diǎn)
,
的中點(diǎn)
,連結(jié)
,
則
是△
的中位線.
∴∥
,
, …………………………8分
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
∵
,
,
∴.
∴
四邊形是平行四邊形, ……………………………………10分
∴ .
∵ 平面
,
平面
,
∴ ∥平面
.
∵,
∴平面平面
.……………………………………………………12分
∵平面
,
∴∥平面
.
∴
線段的中點(diǎn)
是符合題意要求的點(diǎn).……………………………… 14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
…………………………………………2分
∵,
∴. ………………………………………… 5分
∴所求橢圓的方程為
. …………………………………………6分
(2)∵ 點(diǎn)關(guān)于直線
的對稱點(diǎn)為
,
∴
解得:,
.
…………………………8分
∴.
……………………………10分
∵
點(diǎn)在橢圓
:
上,
∴, 則
.………………………………………………12分
∴的取值范圍為
. …………………………………………14分
20. (本小題滿分14分)
(1) 解:當(dāng)時(shí),
.
……………………………………1分
當(dāng)時(shí),
.
…………………………………………4分
∵不適合上式,
∴ ………………………………………………………5分
(2)證明: ∵.
當(dāng)時(shí),
………………………………………………6分
當(dāng)時(shí),
,
①
. 、
①-②得:
得, …………………………………………10分
此式當(dāng)時(shí)也適合.
∴N
.
∵,
∴.
…………………………………………………11分
當(dāng)時(shí),
,
∴.
∵,
∴.
故,即
. ……………………………………………13分
綜上,.
………………………………14分
21. (本小題滿分14分)
解:(1)當(dāng)時(shí),
,
∴.
令=0, 得
.
………………………………………………2分
當(dāng)時(shí),
, 則
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
, 則
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增.
…………………………2分
∴ 當(dāng)時(shí),
取得極大值為
;…………………………4分
當(dāng)時(shí),
取得極小值為
. ………………………6分
(2) ∵ =
,
∴△= =
.
① 若a≥1,則△≤0,
∴≥0在R上恒成立,
∴ f(x)在R上單調(diào)遞增 .
∵f(0),
,
∴當(dāng)a≥1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn). ……………………9分
② 若a<1,則△>0,
∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè)為x1,x2,(x1<x2).
∴x1+x2 = 2,x1x2 = a.
當(dāng)變化時(shí),
的取值情況如下表:
x
x1
(x1,x2)
x2
+
0
-
0
+
f(x)
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
∵,
∴.
∴
.
同理.
∴
.
令f(x1)?f(x2)>0, 解得a>.
而當(dāng)時(shí),
,
故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).
綜上所述,a的取值范圍是.
……………………………………14分
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