題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意的有
≤
成立,求實數(shù)
的最小值;
(Ⅲ)證明(
).
【解析】(1)解:
的定義域為
由,得
當x變化時,,
的變化情況如下表:
x |
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
極小值 |
|
因此,在
處取得最小值,故由題意
,所以
(2)解:當時,取
,有
,故
時不合題意.當
時,令
,即
令,得
①當時,
,
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對于任意的
,總有
,即
在
上恒成立,故
符合題意.
②當時,
,對于
,
,故
在
上單調(diào)遞增.因此當取
時,
,即
不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當時,
在(2)中取,得
,
從而
所以有
綜上,,
設(shè)函數(shù),其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記曲線在點
(其中
)處的切線為
,
與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
,求
的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以
,
由,得
,
所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增;
第二問中,因為,所以曲線
在點
處切線為
:
.
切線與
軸的交點為
,與
軸的交點為
,
因為,所以
,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞減.所以,當
時,
有最大值,此時
,
解:(Ⅰ)由已知,所以
,
由
,得
, 所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增;
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
(Ⅱ)因為,所以曲線
在點
處切線為
:
.
切線與
軸的交點為
,與
軸的交點為
,
因為,所以
,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞減.所以,當
時,
有最大值,此時
,
所以,的最大值為
已知函數(shù),(
),
(1)若曲線與曲線
在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a,b的值
(2)當時,若函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1)上的最大值。
【解析】(1),
∵曲線與曲線
在它們的交點(1,c)處具有公共切線
∴,
∴
(2)令,當
時,
令
,得
時,
的情況如下:
x |
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
,單調(diào)遞減區(qū)間為
當,即
時,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
在區(qū)間
上的最大值為
,
當且
,即
時,函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
在區(qū)間
上的最大值為
當,即a>6時,函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞贈,在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間
上單調(diào)遞增。又因為
所以在區(qū)間
上的最大值為
。
已知曲線上動點
到定點
與定直線
的距離之比為常數(shù)
.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點
平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點
為圓心作圓
:
,設(shè)圓
與曲線
交于點
與點
,求
的最小值,并求此時圓
的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線
的垂線,垂足為D.
代入坐標得到
第二問當斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱,設(shè),, 不妨設(shè)
.
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當
時,
取得最小值為
.
計算得,,故
,又點
在圓
上,代入圓的方程得到
.
故圓T的方程為:
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