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如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，側棱．

�。ǎ保┣笕�棱錐的體積；

�。ǎ玻┣笾本�與平面所成角的正弦值；

�。ǎ常┤衾�上存在一點，使得，當二面角的大小為時，求實數(shù)的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

       （4’）

,設平面的法向量為，

由得，                                             （5’）

則，

.  （7’）

（3）

設平面的法向量為，由得，      （10’）

利用計算機隨機模擬方法計算與所圍成的區(qū)域的面積時，可以先運行以下算法步驟：

第一步：利用計算機產生兩個在區(qū)間內的均勻隨機數(shù)；

第二步：對隨機數(shù)實施變換：得到點；

第三步：判斷點的坐標是否滿足；

第四步：累計所產生的點的個數(shù)，及滿足的點的個數(shù)；

第五步：判斷是否小于（一個設定的數(shù)）.若是，則回到第一步，否則，輸出并終止算法.

若設定的，且輸出的，則據此用隨機模擬方法可以估計出區(qū)域的面積為

            （保留小數(shù)點后兩位數(shù)字）．

利用計算機隨機模擬方法計算與所圍成的區(qū)域的面積時，可以先運行以下算法步驟：
第一步：利用計算機產生兩個在區(qū)間內的均勻隨機數(shù)；
第二步：對隨機數(shù)實施變換：得到點；
第三步：判斷點的坐標是否滿足；
第四步：累計所產生的點的個數(shù)，及滿足的點的個數(shù)；
第五步：判斷是否小于（一個設定的數(shù)）.若是，則回到第一步，否則，輸出并終止算法.
若設定的，且輸出的，則據此用隨機模擬方法可以估計出區(qū)域的面積為
            （保留小數(shù)點后兩位數(shù)字）．

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，，分別是，的中點．

（I）求證：平面；

（II）求證：；

（III）設PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.

【解析】第一問利用線面平行的判定定理，，得到

第二問中，利用，所以

又因為，，從而得

第三問中，借助于等體積法來求解三棱錐B-EFC的體積.

（Ⅰ）證明： 分別是的中點，    

，．       …4分

（Ⅱ）證明：四邊形為正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,

∴