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        1. [解析](1)依題意.得或}. ----2分 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知,函數(shù)

          (1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程;

          (2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;

          (3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍。

          【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)時(shí),  又    所以函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為;(2)中令   有 

          對(duì)a分類討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。

          解:(Ⅰ)∵  ∴

          ∴  當(dāng)時(shí),  又    

          ∴  函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為 --------4分

          (Ⅱ)令   有 

          ①         當(dāng)時(shí)

          (-1,0)

          0

          (0,

          ,1)

          +

          0

          0

          +

          極大值

          極小值

          的極大值是,極小值是

          ②         當(dāng)時(shí),在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無(wú)極小值。 

          綜上所述   時(shí),極大值為,無(wú)極小值

          時(shí)  極大值是,極小值是        ----------8分

          (Ⅲ)設(shè),

          對(duì)求導(dǎo),得

          ,    

          在區(qū)間上為增函數(shù),則

          依題意,只需,即 

          解得  (舍去)

          則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(

           

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          如圖,已知點(diǎn)和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)B.

          (1)若,求向量

          (2)求的最大值.

          【解析】對(duì)于這樣的向量的坐標(biāo)和模最值的求解,利用建立直角坐標(biāo)系的方法可知。

          第一問(wèn)中,依題意,,

          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911085823385992/SYS201207091109409213861961_ST.files/image002.png">,所以,即,

          解得,所以

          第二問(wèn)中,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值。

          (1)依題意,,(不含1個(gè)或2個(gè)端點(diǎn)也對(duì))

          , (寫出1個(gè)即可)

          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911085823385992/SYS201207091109409213861961_ST.files/image002.png">,所以,即,

          解得,所以.-

          (2)

           當(dāng)時(shí),取得最大值,

           

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          在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題,每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中只有一個(gè)是正確的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:“每題只選一項(xiàng),答對(duì)得5分,不答或答錯(cuò)得0分”.某考生每道題都給出一個(gè)答案, 且已確定有7道題的答案是正確的,而其余題中,有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,有一道可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生:

          (1)選擇題得滿分(50分)的概率;

          (2)選擇題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望。

          【解析】第一問(wèn)總利用獨(dú)立事件的概率乘法公式得分為50分,10道題必須全做對(duì).在其余的3道題中,有1道題答對(duì)的概率為,有1道題答對(duì)的概率為,還有1道答對(duì)的概率為

          所以得分為50分的概率為:

          第二問(wèn)中,依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50}         

          得分為35分表示只做對(duì)了7道題,其余各題都做錯(cuò),

          所以概率為                            

          得分為40分的概率為: 

          同理求得,得分為45分的概率為: 

          得分為50分的概率為:

          得到分布列和期望值。

          解:(1)得分為50分,10道題必須全做對(duì).在其余的3道題中,有1道題答對(duì)的概率為,有1道題答對(duì)的概率為,還有1道答對(duì)的概率為,

          所以得分為50分的概率為:                   …………5分

          (2)依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50}            …………6分

          得分為35分表示只做對(duì)了7道題,其余各題都做錯(cuò),

          所以概率為                              …………7分

          得分為40分的概率為:     …………8分

          同理求得,得分為45分的概率為:                     …………9分

          得分為50分的概率為:                      …………10分

          所以得分的分布列為

          35

          40

          45

          50

           

          數(shù)學(xué)期望

           

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          已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

          (1)求f(x)的解析式;

          (2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

          【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

          (2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

          然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

          解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

          依題意

          又f′(0)=-3

          ∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

          (2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),

          ∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

          ∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

          又切線過(guò)點(diǎn)A(2,m)

          ∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

          ∴m=-2x03+6x02-6

          令g(x)=-2x3+6x2-6

          則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

          由g′(x)=0得x=0或x=2

          ∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

          ∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

          畫出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,

          所以m的取值范圍是(-6,2).

           

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