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一個三棱錐S—ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為1、、3，已知該三棱錐的四個頂點都在一個球面上，則這個球的表面積為(    )

A.16π                B.32π                C.36π              D.64π

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一個三棱錐S—ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為1、、3.已知該三棱錐的四個頂點都在一個球面上，則這個球的表面積為…(　　)

A.16π                                                   B.32π

C.36π                                                   D.64π

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一、選擇題

1.D  2.B  3.C  4.D  5.C  6.C  7.A  8.C

二、填空題（第一空2分，第二空3分，13題反之）

9．     10．

11．    12．

13．①②③；②    14．

三、解答題

15．解：（1）由已知得，……………………2分

（舍），………………………4分

在三角形ABC中，C=60°. ……………………………6分

（2）…………8分

 又

 ……………………10分

 ……………………13分

16．[解法一]

   （1）證：都為等腰直角三角形，

，………2分

又

……………………4分

   （2）解：連AC₁交A₁C于E點，取AD中點F，連EF、CF，則EF//C₁D

是異面直線A₁C與C₁D所成的角（或補角）…………5分

在………………8分

則異面直線A₁C與C₁D所成角的大小為………………9分

   （3）解：延長A₁D與AB延長線交于G點，連結(jié)CG

過A作AH⊥CG于H點，連A₁H，

平面ABC，（三垂線定理）

則是二面角A₁―CG―A的平面角，即所求二面角的平面角……10分

在直角三角形ACG中，，

……………………11分

在直角三角形A₁AH中，，………………13分

即所求的二面角的大小為…………14分

[解法二]向量法（略）

17．解：（1）∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

∴當(dāng)截距不為零時，設(shè)切線方程為，

又∵圓C：，

∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，

即：……………………4分

當(dāng)截距為零時，設(shè)

同理可得

則所求切線的方程為：

或

    （2）∵切線PM與半徑CM垂直，

         ……………………………………8分

         ∴動點P的軌跡是直線……………………10分

         ∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.

         而|PO|的最小值為點O到直線的距離………11分

           可得：

         則所求點坐標(biāo)為………………………………13分

18．（1）證明：上

        ………………1分    ………2分

        ……………………4分

         是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.

   （2）解：由（1）可得，………………………………6分

        所以   ……………………8分

   （3）

           =………………10分

          當(dāng)；…………………………11分

          當(dāng)………………12分

          當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

          當(dāng)

          假設(shè)時成立

          即

          即

          當(dāng)

          綜上可知 

          …………………………14分

          綜上可知當(dāng)；

          當(dāng)

19．解：（1）由題意知

         則雙曲線方程為：…………………………3分

        （2）設(shè)，右準(zhǔn)線，

設(shè)PQ方程為：

代入雙曲線方程可得：

由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以，

…………………………4分

……4分

由于

由可得：…………………………6分

……………………………………7分

此時

     （II）存在實數(shù)，滿足題設(shè)條件.

      的直線方程為：

      令得  即

即

又

把（3）（4）代入（2）得：……（5）………………（10分）

由（1）（5）得：……………（11分）

又

    令……………………13分

       故存在實數(shù)μ，滿足題設(shè)條件.

20．證明：（I）

………………………………1分

又

……………………………………2分

………………4分

（II）當(dāng)時，時，

∴只須證明當(dāng)時，………………………………5分

由②，知A>0，…………………………………………6分

為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為

又……9分

，有

為[0，2]上的增函數(shù).

時，有

即……………………………………………13分