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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          

          
	
          
				
          

			
				數(shù) 學(xué)            2008.11			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          （2012•長春模擬）某學(xué)校為了研究學(xué)情，從高三年級中抽取了20名學(xué)生三次測試的數(shù)學(xué)成績和物理成績，計(jì)算出了他們?nèi)纬煽兊钠骄稳缦卤恚?br />

          


          
學(xué)生序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
          

          
數(shù)    學(xué)
1.3
12.3
25.7
36.7
50.3
67.7
49.0
52.0
40.0
34.3
          

          
物    理
2.3
9.7
31.0
22.3
40.0
58.0
39.0
60.7
63.3
42.7
          

          
學(xué)生序號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
          

          
數(shù)    學(xué)
78.3
50.0
65.7
66.3
68.0
95.0
90.7
87.7
103.7
86.7
          

          
物    理
49.7
46.7
83.3
59.7
50.0
101.3
76.7
86.0
99.7
99.0
          學(xué)校規(guī)定平均名次小于或等于40.0者為優(yōu)秀，大于40.0者為不優(yōu)秀．
          （1）對名次優(yōu)秀者賦分2，對名次不優(yōu)秀者賦分1，從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，用ξ表示這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)科得分的和，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
          （2）根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)，是否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為物理成績優(yōu)秀與否和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與否有關(guān)系？（下面的臨界值表和公式可供參考：
          

          


          
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
          

          
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
          K2=
          n(ad-bc)2
          (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
          ，其中n=a+b+c+d）
          

			
          
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          將正奇數(shù)按一定規(guī)律填在5列的數(shù)表中，則第252行，第3列的數(shù)是__________．
          


          
 
          
  
  
           
          
            		
  
  
          1
          
            		
  
  
          3
          
            		
  
  
          5
          
            		
  
  
          7[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]
          
            		
 
          
 
          
  
  
          15
          
            		
  
  
          13
          
            		
  
  
          11
          
            		
  
  
          9
          
            		
  
  
           
          
            		
 
          
 
          
  
  
           
          
            		
  
  
          17
          
            		
  
  
          19
          
            		
  
  
          21
          
            		
  
  
          23
          
            		
 
          
 
          
  
  
          31
          
            		
  
  
          29
          
            		
  
  
          27
          
            		
  
  
          25
          
            		
  
  
           
          
            		
 
          
 
          
  
  
           
          
            		
  
  
          …
          
            		
  
  
          …
          
            		
  
  
          …
          
            		
  
  
          …
          
            		
 
          
 
          
  
  
          …
          
            		
  
  
          …
          
            		
  
  
          …
          
            		
  
  
          …
          
            		
  
  
           
          
            		
 
          

          


           
          

			
          
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          右表是某班英語及數(shù)學(xué)成績的分布表，已知該班有50名學(xué)生，成績分1至5個檔次．如：表中所示英語成績?yōu)?分，數(shù)學(xué)成績?yōu)?分的學(xué)生有5人．現(xiàn)設(shè)該班任意一位學(xué)生的英語成績?yōu)閙，數(shù)學(xué)成績?yōu)閚．
          

          


          
n
          m          		
數(shù)  學(xué)
          

          
5
4
3
2
1
          

          
英
           
          語          		
5
1
3
1
0
1
          

          
4
1
0
7
5
1
          

          
3
2
1
0
9
3
          

          
2
1
b
6
0
a
          

          
1
0
0
1
1
3
          （1）求m=4，n=3的概率；
          （2）求在m≥3的條件下，n=3的概率；
          （3）求a+b的值，并求m的數(shù)學(xué)期望；
          （4）若m=2與n=4是相互獨(dú)立的，求a，b的值．
          

			
          
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          計(jì)算（1+i+i2）2008=
          1
          1
          ．
          

			
          
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          有下列三角形數(shù)陣：記三角形數(shù)陣構(gòu)成的數(shù)列為{an}，且a1=
          1
          1
          ，a2=
          2
          1
          ，a3=
          1
          2
          ，a4=
          3
          1
          ，a5=
          2
          2
          ，…，據(jù)此推測a2010等于
          7
          57
          7
          57
          ．
          

			
          
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          一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
          題號
          (1)
          (2)
          (3)
          (4)
          (5)
          (6)
          (7)
          (8)
          答案
          B
          A
          C
          B
          D
          B
          C
          A
           
          二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.第一個空3分，第二個空2分)
          (9)±3(丟一個不給分)    (10)10    (11)    
          (12)9，30    (13)34    (14)(－2，2)，(－∞，3]
          三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
          (15)(本小題滿分12分)
             解：(Ⅰ)由＜0.
          得－2＜x＜2.
              　 ∴A＝{x|－2＜x＜2}.……………………………………………………………3分
              由|x－2|＜1.
                 得1＜x＜3.
                 ∴B={x|l＜x＜3}.…………………………………………………………………6分
                 (Ⅱ)∵A＝{x|－2＜x＜2}，U＝R，
                    ∴UA＝{x|x≤－2或x≥2}.……………………………………………………9分
                    ∴(U A)∩B＝{x|2≤x＜3}.……………………………………………………12分
          (16)(本小題滿分13分)
             解：(Ⅰ)由f (x)＝x3+ax2+2得
             f ′ (x)=3x2+2ax.………………………………………………………………………………3分
             ∵f ′ (x)圖象關(guān)于直線x=l對稱，
             ∴－＝1.
             ∴a＝－3.……………………………………………………………………………………6分
             (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x)＝x3－3x2+2，f ′ (x)＝3x2－6x.
                令f ′ (x)＝0得x1＝0，x2＝2.……………………………………………………………8分
             當(dāng)x在[－1，2]上變化時，f ′ (x)，f (x)的變化情況如下表
           
           
          x
          －1
          (－1，0)
          0
          (０，2)
          2
          f ′ (x)
           
          ＋
          0
          －
          0
          f (x)
          －2
          ㄊ
          2
          ㄋ
          －2
          ……………………………………………………………………………………………12分
             由上表可知，當(dāng)x＝－1或2時，函數(shù)有最小值－2，當(dāng)x=0時，函數(shù)有最大值2.
             ……………………………………………………………………………………………13分
          (17)(本小題滿分14分)
             解：(Ⅰ)設(shè)任取一件作品顏色為綠色的事件為A. ………………………………………1分
             P(A)＝.…………………………………………………………………………………
4分
             答：任取一件作品顏色為綠色的概率為.
             (Ⅱ)設(shè)任取一件作品顏色為紅色的事件為B ……………………………………………5分
             P(B)=1－…………………………………………………………………………
7分
             ＝l－＝.……………………………………………………………………………… 8分
             答：任取一件作品顏色為紅色的概率為.
             (Ⅲ)設(shè)任取一件作品記下顏色后放回，連續(xù)取三次至少有兩件作品為紅色的
             事件為C.……………………………………………………………………………………9分
             P(C)＝()2()+()3()0………………………………13分(其中兩個算式各2分)
                 ＝.…………………………………………………………………………………14分
            答：任取一件作品記下顏色后放回，連續(xù)取三次至少有兩件作品為紅色的概率為.
          (18)(本小題滿分13分)
             解：(Ⅰ)∵a1=－1，且an=3an－l－2n+3，(n=2，3，…)
             　　　
∴a2=3al－4+3=－4，…………………………………………………………… 2分
                    a3=3a2－6+3=－15…………………………………………………………………4分
            當(dāng)n≥2時，有
             an－n=3an－1－2n+3－n＝3(an－1－n＋1) …………………………………………6分
             且a1－1=－2≠0，…………………………………………………………………7分
             所以數(shù)列{an－n}(n＝1，2，…)是一個以－2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列……
                    ……………………………………………………………………………………8分
             (Ⅱ)由(Ⅰ)可得an－n＝－2?3n－１，
          　 　 ∴an＝n－2?3n－1……………………………………………………………………9分
                  
∴a1+a2+a3+…+an＝(1－2×1)＋(2－2×3)＋(3－2×32)＋…＋(n－2×3n－1)
                  
＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2×1+2×3+2×32+…+2×3n－1) ………………………11分
                  
＝.……………………………………………13分
          (19)(本小題滿分14分)
             解：(Ⅰ)∵曲線y=f
(x)在點(diǎn)(0，f (0))處的切線與x軸平行，
                ∴f (0)＝0. ………………………………………………………………………………2分
                又f ′ (x)=3x2+2bx+c，則f ′ (0)＝c＝0.…………………………………………………4分
             (Ⅱ)由c＝0，方程f (x)－b2x＝0可化為x3+bx2－b2x+5＝0，
                假設(shè)存在實(shí)數(shù)b使得此方程恰有一個實(shí)數(shù)根，
                令g (x)＝x3+bx2－b2x＋5，則g (x)極大值＜0或g (x)極小值＞0.
                ∴g′ (x)=3x2+2bx－b2＝(3x－b)(x＋b).
                令g′ (x)＝0，得x1＝，x2＝－b.……………………………………………………5分
            ①若b＝0，則方程f (x)－b2x＝0可化為x3＋5＝0，此方程恰有一個實(shí)根
                x＝－.………………………………………………………………………………6分
             ②若b＞0，則＞－b，列表：
          x
          (?∞，?b)
          －b
          (－b，)
          (，＋∞)
          g′ (x)
          ＋
          ０
          －
          ０
          ＋
          g (x)
          ㄊ
          極大值
          ㄋ
          極小值
          ㄊ
           
              ∴g (x)極大值＝g(－b)＝b3+5＞0，g (x)極小值＝g ()＝－＋5.
              ∴－＋5＞0，解之得0＜b＜3. ……………………………………………………9分
          　�、廴鬮＜0，則＜－b，列表：
          x
          (?∞，)
          (，－b)
          －b
          (－b，＋∞)
          g′ (x)
          ＋
          ０
          －
          ０
          ＋
          g (x)
          ㄊ
          極大值
          ㄋ
          極小值
          ㄊ
           
             ∴g (x)極大值＝g ()＝－＋5＞0，g (x)極小值＝g(－b)＝b3+5.
             ∴b3+5＞0，解之得b＞－.
             ∴－＜b＜0.
…………………………………………………………………………12分
             綜合①②③可得，實(shí)數(shù)b的取疽范圍是(－，3).…………………………………14分
          (20)(本小題滿分14分)
             解：(Ⅰ)f (x)＝x2是其定義域上的T函數(shù)，………………………………………………2分
                 證明如下：
                 對任意實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)，
                 有f (x1＋x2)－f (x1)－f(x2)
             ＝(x1＋x2)2－－
                 ＝－(x1－x2)2＜0.
            即f (x1＋x2)＜f (x1)＋f (x2).
             ∴f(x)＝x2是其定義域上的T函數(shù).……………………………………………………4分
             (Ⅱ)假設(shè)f (x)是R上的T函數(shù)，取x1＝1，x2＝－1，
                 則有f (×1+×(－1))＜f (1)＋f (－1).
             ∵f (x)是奇函數(shù)，
             ∴f (－1)＝－f (1)，f (?)＝－f().
                 ∴f()＞f (1).(#)
             同理，取x1＝－1，x2＝1，可證f ()＜f (1).
             與(#)式矛盾.
             ∴f (x)不是R上的T函數(shù).……………………………………………………………9分
             (Ⅲ)對任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α＝∈[0，1].
                 ∵f (x)是R上的C函數(shù)，an＝f (n)，且a0=0，am=2m，
             ∴an=f (n)=f (αx1+(1－α)x2)≤αf (x1)+(1－α)f
(x2)=×2m=2n.
             那么Sf=a1+a2+…+am≤(2×(1+2+…+m)=m2+m.
             可證f (x)＝2x是C函數(shù)，且使得an＝2n (n＝0，l，2，…，m)都成立，
             此時Sf=m2+m.
             綜上所述，Sf的最大值為m2+m.………………………………………………………14分
          說明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.
           
           
          		
          
	
          
	
          
		
          


          同步練習(xí)冊答案