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				(2)是否存在數(shù)列的一個無窮等比子數(shù)列.使得它各項的和為?若存在.求出所有滿足條件的子數(shù)列的通項公式,若不存在.請說明理由,			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          從數(shù)列{an}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列,,,…,…，稱之為數(shù)列{an}的一個子數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}是一個公差不為零的等差數(shù)列，且a3=6,取n1=1,n2=3.
          (Ⅰ)若a1=4，求正整數(shù)m，使，,am成等比數(shù)列；
          (Ⅱ)若a1=4，那么{an}是否存在無窮等比子數(shù)列{}?請說明理由；
          (Ⅲ)若{an}存在等比子數(shù)列,,，求整數(shù)a1的值.
          

			
          
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          （2007•奉賢區(qū)一模）已知：函數(shù)f(x)=
          x
          ax+b
          (a，b∈R，ab≠0)          ，f(2)=
          2
          3
          ，f(x)=x          有唯一的根．
          （1）求a，b的值；
          （2）數(shù)列{an}對n≥2，n∈N總有an=f（an-1），a1=1；求證{
          1
          an
          }          為等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式．
          （3）是否存在這樣的數(shù)列{bn}滿足：{bn}為{an}的子數(shù)列（即{bn}中的每一項都是{an}的項）且{bn}為無窮等比數(shù)列，它的各項和為
          1
          2
          ．若存在，找出一個符合條件的數(shù)列{bn}，寫出它的通項公式；若不存在，說明理由．
          

			
          
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          對于數(shù)列{xn}，從中選取若干項，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列．某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為正整數(shù)a，公比為正整數(shù)q（q＞0）的無窮等比數(shù)列{an}的子數(shù)列問題．為此，他任取了其中三項ak，am，an（k＜m＜n）．
          （1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比數(shù)列，求k，m，n之間滿足的等量關(guān)系；
          （2）他猜想：“在上述數(shù)列{an}中存在一個子數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”，為此，他研究了ak+an與2an的大小關(guān)系，請你根據(jù)該同學的研究結(jié)果來判斷上述猜想是否正確；
          （3）他又想：在首項為正整數(shù)a，公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列中是否存在成等比數(shù)列的子數(shù)列？請你就此問題寫出一個正確命題，并加以證明．
          

			
          
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          定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
          已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為數(shù)學公式．
          （1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
          （2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為數(shù)學公式？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
          （3）試設(shè)計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．
          

			
          
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          定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
          已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為
          1
          2
          ．
          （1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
          （2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為
          1
          7
          ？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
          （3）試設(shè)計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．
          

			
          
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          一、填空題：（5’×11＝55’）
          題號
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          答案
          0
          (1,2)
          2
          題號
          7
          8
          9
          10
          11
           
          答案
          4
          8．3
          ②、③
           
          二、選擇題：（4’×4＝16’）
          題號
          12
          13
          14
          
  
            1. 
   
              
    
    
              
     
              
      
      
              
      
              20090116
              答案
              A
              C
              B
              B
              三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）
              16．（理）解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．
              因為，所以
                 
推出．
              依題意可知，當時，取得最小值．而，
              故有，解得．
              又點在橢圓的長軸上，即．故實數(shù)的取值范圍是．
              17．解：（1）當時，；
              當且時，；
              當時，；（不單獨分析時的情況不扣分）
              當時，．
              （2）由（1）知：當時，集合中的元素的個數(shù)無限；
              當時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集．
              因為，當且僅當時取等號，
              所以當時，集合的元素個數(shù)最少．
              此時，故集合．
              18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）
              解：（1）如圖，建立空間直角坐標系．不妨設(shè)．
              依題意，可得點的坐標，，．
                  于是，，．
                
由，則異面直線與所成角的
              大小為．
              （2）解：連結(jié)． 由，
              是的中點，得;
              由面，面，得．
              又，因此面
              由直三棱柱的體積為．可得．
              所以，四棱錐的體積為
              ．
              19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．
              由此可得，；
              由規(guī)律②可知，，
              ；
              又當時，，
              所以，，由條件是正整數(shù)，故取．
                  綜上可得，符合條件．
              （2） 解法一：由條件，，可得
              ，
              ，
              ，．
              因為，，所以當時，，
              故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
              解法二：列表，用計算器可算得
              月份
              …
              6
              7
              8
              9
              10
              11
              …
              人數(shù)
              …
              383
              463
              499
              482
              416
              319
              …
              故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
              20．解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：
                   ；
               
（2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，
              則，即    
              而  則 .
              所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，
              其通項公式為，.
              解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．
              由………… ①
              又若，則對每一
              都有………… ②
              從①、②得；
              則；
              因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項、公比均為無窮等比子
              數(shù)列，通項公式為，．
              （3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
              問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
              解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
              ，
              因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分數(shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。
              【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分】
              問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
              解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
              ………… ①
              若且，則①，矛盾；若且，則①
              ，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則
              ①………… ②
              1當時，②，等式左邊是偶數(shù)，
              右邊是奇數(shù)，矛盾；
              2當時，②
              或
              ，
              兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；
              綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等。
              【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計分5分，解答分7分】
              問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
              解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
              ，
              顯然當時，上述等式成立。例如取，，得：
              第一個子數(shù)列：，各項和；第二個子數(shù)列：，
              各項和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍。
              【以上解答屬層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分．若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】
              問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：存在。
              問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．
              【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計，可得設(shè)計分5分。解答分最高7分】
               
              		
              
	
	

              
	



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