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如圖所示，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到F₁，F(xiàn)₂兩點的距離之和為4且b=

3

．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F₂作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點，求△F₁PQ的面積．

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如圖所示，已知圓E：x²+（y-1）²=4交x軸分別于A，B兩點，交y軸的負半軸于點M，過點M作圓E的弦MN．
（1）若弦MN所在直線的斜率為2，求弦MN的長；
（2）若弦MN的中點恰好落在x軸上，求弦MN所在直線的方程；
（3）設弦MN上一點P（不含端點）滿足PA，PO，PB成等比數(shù)列（其中O為坐標原點），試探求

PA

•

PB

的取值范圍．

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如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B．已知|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比數(shù)列，|

F1B

|-

|F1F2

|=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標；
（Ⅲ）當弦MN的中點P落在四邊形F₁AF₂B內（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

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如圖所示，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點(1，

3

2

)到F₁、F₂兩點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的焦點F₂作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求△F₁PQ的面積．

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如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B．已知|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比數(shù)列，|

F1B

|-

|F1F2

|=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．

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一、選擇題(5分×12=60分)   

    B  B  D  D  C  B  B  D  D  C  A  A

二、填空題(4分x 4=16分)

13．80  14．32  15．  16．①③

三、解答題(12分×5+14分=74分)

17．解：(1)2分

        ……………………4分

         ∴的最小正周期為 …………………6分

(2)∵成等比數(shù)列   ∴  又

∴  ……………………………………4分

又∵     ∴       ……………………………………………………10分

  ……………………………………12分

18．解：(1)設公差由成等比數(shù)列得 …………………1分

∴即 ∴舍去或     …………………………3分

∴           ………………………………………………4分

∴ ………………………………………………6分

(2) ∵               ………………………………………………7分

∴…①      …………8分

 …………②       …………9分

①-②得：

∴                ………………………………………………12分

19．解：(1)記“任取2張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到偶函數(shù)”為事件A，

                ……………………………………………………4分

(2)設符合題設條件，抽取次數(shù)恰為3的事件記為B，則

        ………………………………………………12分

20．解：(1)連結    為正△ …1分

                                       面3分

面面          

即點的位置在線段的四等分點且靠近處  ………………………………………6分

(2)過作于，連

由(1)知面(三垂線定理)

∴為二面角的平面角……9分

在中，

在中，

∴二面角的大小為     ………………………………………12分

(說明：若用空間向量解，請參照給分)

21．解：(1) 由得 ……2分

①當時，在內是增函數(shù)，故無最小值………………………3分

②當時，

在處取得極小值    ………………………5分

由                     解得：≤  ∴≤ …………6分

≥

(2)由(1)知在區(qū)間上均為增函數(shù)

又，故要在內為增函數(shù)

        ≤           ≥

必須：                或                    ………………………………………10分

        ≤        ≤ 

∴≤或≥  ∴實數(shù)的取值范圍是：…………………12分

22．解：(1)如圖，設為橢圓的下焦點，連結

∴ ∵∴…3分

∵  ∴ ………4分

∴的離心率為

 …………………………………………………………6分

(2)∵，∴拋物線方程為：設點則 ∵

∴點處拋物線的切線斜率 ……………………………………………………8分

則切線方程為：……………………………………………………9分

又∵過點  ∴  ∴  ∴

代入橢圓方程得：    ……………………………………………………11分

∴≥  ………………13分

當且僅當                 即           上式取等號

∴此時橢圓的方程為：       ………………………………………………14分