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如圖，以棱長為a的正方體的三條棱為坐標軸，建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．
（1）當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究PQ的最小值；
（2）當點P在對角線AB上運動，點Q為棱CD的中點時，探究PQ的最小值；
（3）當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究PQ的最小值．

如圖，在棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁與面ABCD的交線l，判斷l(xiāng)與直線A₁C₁位置關系，并給出證明；
（2）證明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求直線AC到面A₁BC₁的距離；
（4）若以A為坐標原點，分別以AB，AD，AA₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，試寫出C，C₁兩點的坐標．

如圖，在棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）若以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，試寫出B，B₁兩點的坐標．
（2）證明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求線AC到面A₁BC₁的距離．