題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),
.
(Ⅰ)若函數(shù)依次在
處取到極值.求
的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實數(shù),使對任意的
,不等式
恒成立.求正整數(shù)
的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。
第二問中,利用存在實數(shù),使對任意的
,不等式
恒成立轉(zhuǎn)化為
,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即
,即
.
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù),使對任意的
,不等式
恒成立.
即不等式在
上恒成立.
即不等式在
上恒成立.
設(shè),則.
設(shè),則
,因為
,有
.
故在區(qū)間
上是減函數(shù)。又
故存在,使得
.
當(dāng)時,有
,當(dāng)
時,有
.
從而在區(qū)間
上遞增,在區(qū)間
上遞減.
又[來源:]
所以當(dāng)時,恒有
;當(dāng)
時,恒有
;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當(dāng)時
單調(diào)遞減;當(dāng)
時
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時,
取最小值
于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)
. 、
令則
當(dāng)時,
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
單調(diào)遞減.
故當(dāng)時,
取最大值
.因此,當(dāng)且僅當(dāng)
時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當(dāng)
時,
單調(diào)遞減;當(dāng)
時,
單調(diào)遞增.故當(dāng)
,
即
從而,
又
所以因為函數(shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值和最小值.
【解析】(1)
所以,
的最小正周期
(2)因為在區(qū)間
上是增函數(shù),在區(qū)間
上是減函數(shù),
又,
,
,
故函數(shù)在區(qū)間
上的最大值為
,最小值為-1.
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意
,
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式
恒成立,問題等價于
只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
........4分
(II)若對任意不等式
恒成立,
問題等價于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當(dāng)b<1時,;
當(dāng)時,
;
當(dāng)b>2時,;
............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以實數(shù)b的取值范圍是
某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻
(時) 的關(guān)系為
,其中
是與氣象有關(guān)的參數(shù),且
.
(1)令,
,寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并選擇其中一種情形進(jìn)行證明;
(2)若用每天的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù),并記作
,求
;
(3)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2,試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)?
【解析】第一問利用定義法求證單調(diào)性,并判定結(jié)論。
第二問(2)由函數(shù)的單調(diào)性知,
∴,即t的取值范圍是
.
當(dāng)時,記
則
∵在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
第三問因為當(dāng)且僅當(dāng)時,
.
故當(dāng)時不超標(biāo),當(dāng)
時超標(biāo).
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