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 （本題滿分5分）

如下圖所示，在△ABC中，AD是中線，分別過點(diǎn)B、C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE、CF，垂足分別為點(diǎn)E、F．求證：BE=CF．

（本題滿分10分）

情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是  ▲   ，∠CAC′=  ▲   °．

問題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分

別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等

腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為

P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線，交CO的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長(zhǎng)．

（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線，交CO的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長(zhǎng)．

（本題滿分12分，其中第（1）小題5分，第（2）小題7分）

已知：如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，點(diǎn)E在線段BD上，且BE=ED，過點(diǎn)B作BF∥AC，交線段AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

1.（1）求證：AC=3BF；

2.（2）如果，求證：．