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19．解：（1）連接B₁D₁，ABCD―A₁B₁C₁D₁為四棱柱，

，

則在四邊形BB₁D₁D中（如圖），

得△D₁O₁B₁≌△B₁BO，可得∠D₁O₁B₁=∠OBB₁=90°，

即D₁O₁⊥B₁O

   （2）解法一：連接OD₁，△AB₁C，△AD₁C均為等腰

三角形，

且AB₁=CB_1­，AD₁=CD₁，所有OD₁⊥AC，B₁O⊥AC，

顯然：∠D₁OB₁為所求二面角D₁―AC―B₁的平面角，

由：OD₁=OB₁=B₁D=2知

解法二：由ABCD―A₁B₁C₁D₁為四棱柱，得面BB₁D₁D⊥面ABCD

所以O₁D₁在平面ABCD上的射影為BD，由四邊形ABCD為正方形，AC⊥BD，由三垂線定理知，O₁D₁⊥AC。可得D₁O₁⊥平面AB₁C。

又因為B₁O⊥AC，所以∠D₁OB₁所求二面角D₁―AC―B₁的平面角，

20．解：（1）曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線的距離小1，

可得|MF|等于M到y(tǒng)=-1的距離，由拋物線的定義知，M點的軌跡為

   （2）當直線的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，

    當直線m與x軸不垂直時，設直線m的方程為

   代入    ①

    恒成立，

    設交點A，B的坐標分別為

∴直線m與曲線C恒有兩個不同交點。

則    ②        ③

故直線m的方程為

21．解：（1）由已知得

   （2）

   （3）