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如圖某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對岸的點(diǎn)C，測得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．
（1）求sin75°；
（2）求該河段的寬度．

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如圖某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對岸的點(diǎn)C，測得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米。
（1）求sin75°；
（2）求該河段的寬度。

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一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．

二、對計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)．

一．選擇題：BBDC   DDAD

1．將各選項(xiàng)代入檢驗(yàn)易得答案選B.

2．，圖中陰影部分表示的集合為,選B.

3．由函數(shù)以為周期，可排除A、B，由函數(shù)在為增函數(shù)，可排除C,故選D。

4．或

或，故選C。

5．該程序的功能是求和,因輸出結(jié)果，故選D.

6．由已知得即

，故選D.

7．如圖：易得答案選A.

8．若成立，依題意則應(yīng)有當(dāng)時(shí)，均有成立，故A不成立,

若成立，依題意則應(yīng)有當(dāng)時(shí)，均有成立，故B不成立,

因命題“當(dāng)成立時(shí)，總可推 出成立”．“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”．因而若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立 ，故C也不成立。對于D，事實(shí)上，依題意知當(dāng)時(shí)，均有成立，故D成立。

二．填空題：9.800、20％；10. ；11. 3；12. ①③④⑤；13. ；14. 2或8；15.

9. 由率分布直方圖知，及格率＝＝80％，

及格人數(shù)＝80％×1000＝800，優(yōu)秀率＝％.

10．解一：任取3個(gè)球有C種結(jié)果，編號之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為CC+ C=60，故所求概率為.

解二：十個(gè)球的編號中，恰好有5個(gè)奇數(shù)和5個(gè)偶數(shù)，從中任取3個(gè)球，3個(gè)球編號之和為奇數(shù)與3個(gè)球編號之和為偶數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的，故所求概率為.

11．由平面向量的坐標(biāo)表示可得：

由，得.

12．由三視圖知該幾何體是底面為正方形的長方體，

顯然①可能，②不可能，③④⑤如右圖知都有可能。

13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和分別表示圓和直線，易知＝

14． 由，得或8

15．解法1：∵PA切于點(diǎn)A，B為PO中點(diǎn)，

∴AB=OB=OA, ∴,∴,在△POD中由余弦定理

得=

∴.

解法2：過點(diǎn)D作DE⊥PC垂足為E，∵，∴,可得,,在中，∴

三．解答題：

16．解：（1）

              ------------------------4分

（2）∵，

∴,

由正弦定理得：

∴------------6分

如圖過點(diǎn)B作垂直于對岸，垂足為D,則BD的長就是該河段的寬度。

在中，∵,------------8分

∴＝

       （米）

∴該河段的寬度米。---------------------------12分

17．(1)解：∵

∴且,

∴平面------------ ----------------2分

在中， ,

中，

∵,

∴.--------------4分

(2)證法1：由（1）知SA=2, 在中，---6分

∵,∴-------------------8分

證法2：由（1）知平面，∵面，

∴,∵,,∴面

又∵面，∴

(3) 解法1：分別取AB、SA、 BC的中點(diǎn)D、E、F，

連結(jié)ED、DF、EF、AF，則,

∴（或其鄰補(bǔ)角）就是異面直線SB和AC所成的角----------10分

∵

在中，

∴,

在中，

在△DEF中，由余弦定理得

∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為-------------------------14分

解法2：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖

則可得點(diǎn)A(0,0,0),C(0,1,0),B

∴

設(shè)異面直線SB和AC所成的角為

則

∴異面直線SB和AC所成的角的余弦值為。

18．解：（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線………………………………2分

　　　　∵      ∴　

∴　曲線方程是………4分

（2）設(shè)圓的圓心為，∵圓過，

∴圓的方程為　　……………………………7分

令得：　　

設(shè)圓與軸的兩交點(diǎn)分別為，

方法1：不妨設(shè)，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵點(diǎn)在拋物線上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵，　

∴

　又∵點(diǎn)在拋物線上，∴， ∴　　

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4〕

19.解：設(shè)AN的長為x米（x >2）

       ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

       ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

       ∴       即AN長的取值范圍是----------- 8分

（2）令y＝，則y′＝  -------------- 10分

∵當(dāng)，y′< 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即（平方米）

此時(shí)|AN|＝3米，|AM|＝米             ---------------------- 12分

20．解：（1）由得----------------------------------------1分

由一元二次方程求根公式得---------------------------3分

∵

∴---------------------------------------------4分

 (2) ∵

∴

         ＝------------------------------------------------------------6分

∵

∴------------------------------------------------------------------------8分

（其它證法請參照給分）

（3）解法1：∵ 

∴

＝-------------------------------------------------10分

∵,∴

∴，∵

∴即

∴數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)。---------- -14分

〔解法2：由知數(shù)列各項(xiàng)滿足函數(shù)

∵

當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上為減函數(shù)

即有

∴數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)。]

21．解：

（1） 

---------------2分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；--------------3分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。------------4分

（2）令，則

 ，

在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即，使成立。------------8分

（3）       假設(shè)存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且

∴

   -------------------------10分

由②知對,都有

令得