Question

如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為坐標(biāo)系原點O，且經(jīng)過點A（3，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和點B（6，0）．
（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）如果一次函數(shù)圖象與y軸相交于點C，點D在線段AC上，與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點E，∠CDO=∠OED，求點D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點D在直線AC上的一個動點時，以點O、C、D、E為頂點的四邊形能成為平行四邊形嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)分別求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式為y=ax²，一次函數(shù)的解析式為y=kx+b；
（2）由DE∥y軸，∠CDO=∠OED，得到△CDO∽△OED，則DO²=DE•CO，設(shè)D點的坐標(biāo)為（m，-m+6），那么點E的坐標(biāo)為（m，

1

3

m2），因此2m2-12m+36=6(-m+6-

1

3

m2)，解方程得到m=

3

2

，即可得到D點坐標(biāo)；
（3）由OC∥DE，若DE=OC，以點O、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；分類討論：①當(dāng)點D在點E上方，-x+6-

1

3

x2=6，得x1=0，x2=-3．②當(dāng)點D在E下方，

1

3

x2-(-x+6)=6，得x=

-3± 153

2

．即可得到D點坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²，把A（3，3）代入得a=

1

3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=

1

3

x²；
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，
把A（3，3），B（6，0）分別代入得，3k+b=3，6k+b=0，解得k=-1，b=6，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+6；

（2）∵DE∥y軸，∠CDO=∠OED，
∴△CDO∽△OED，
∴

DE

DO

=

DO

CO

，即DO2=DE•CO，
設(shè)D點的坐標(biāo)為（m，-m+6），那么點E的坐標(biāo)為（m，

1

3

m2），
∴OD²=m2+(m-6)2=2m2-12m+36，DE=-m+6-

1

3

m2，
又∵由直線y=-x+6與y軸交于點C，
∴點C的坐標(biāo)為（0，6），CO=6，
∴2m2-12m+36=6(-m+6-

1

3

m2)，
解得m₁=0（不合題意，舍去），m₂=

3

2

，
∴點D的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

2

）；

（3）以點O、C、D、E為頂點的四邊形能成為平行四邊形．理由如下：
若DE=OC，以點O、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，
①當(dāng)點D在點E上方，-x+6-

1

3

x2=6，得x1=0，x2=-3．x=0（舍去），x=-3，y=-（-3）+3=6
②當(dāng)點D在E下方，

1

3

x2-(-x+6)=6，得x=

-3± 153

2

．
當(dāng)x=

-3+ 153

2

，y=-

-3+ 153

2

+6=

15- 153

2

；
當(dāng)x=

-3- 153

2

，y=-

-3- 153

2

+6=

15+ 153

2

．
所以當(dāng)D點坐標(biāo)為：（-3，6）或（

-3+ 153

2

，

15- 153

2

）或（

-3- 153

2

，

15+ 153

2

）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和點在圖象上，點的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式以及一元二次方程的解法．