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        1. 【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣2,0),B(0、﹣4)與x軸交于另一點C,連接BC.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)如圖,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點,且SPBO=SPBC,求證:AP∥BC;

          (3)在拋物線上是否存在點D,直線BD交x軸于點E,使ABE與以A,B,C,E中的三點為頂點的三角形相似(不重合)?若存在,請求出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)拋物線的解析式為:y=x2﹣x﹣4;(2)證明見解析;(3)點D的坐標(biāo)為()或(,﹣).

          【解析】1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可

          (2)令y=0求拋物線與x軸的交點C的坐標(biāo),作△POB和△PBC的高線,根據(jù)面積相等可得OE=CF,證明△OEG≌△CFG,則OG=CG=2,根據(jù)三角函數(shù)列式可得P的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)APBC的解析式,k相等則兩直線平行;

          (3)先利用概率的知識分析A,B,C,E中的三點為頂點的三角形,有兩個三角形與△ABE有可能相似,即△ABC和△BCE,

          ①當(dāng)△ABE與以A,B,C中的三點為頂點的三角形相似,如圖2,根據(jù)存在公共角∠BAE=BAC,可得△ABE∽△ACB,列比例式可得E的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求直線BE的解析式,與拋物線列方程組可得交點D的坐標(biāo);

          ②當(dāng)△ABE與以B,C、E中的三點為頂點的三角形相似,如圖3,同理可得結(jié)論.

          (1)把點A(﹣2,0),B(0、﹣4)代入拋物線y=x2+bx+c中得:

          ,解得:,

          ∴拋物線的解析式為:y=x2﹣x﹣4;

          (2)當(dāng)y=0時,x2﹣x﹣4=0,

          解得:x=﹣24,

          C(4,0),

          如圖1,過OOEBPE,過CCFBPF,設(shè)PBx軸于G,

          SPBO=SPBC

          PBOE=PBCF,

          OE=CF,

          易得△OEG≌△CFG,

          OG=CG=2,

          設(shè)P(x,x2﹣x﹣4),過PPMy軸于M,

          tanPBM=,

          BM=2PM,

          4+x2﹣x﹣4=2x,

          x2﹣6x=0,

          x1=0(舍),x2=6,

          P(6,8),

          易得AP的解析式為:y=x+2,

          BC的解析式為:y=x﹣4,

          APBC;

          (3)以A,B,C,E中的三點為頂點的三角形有△ABC、ABE、ACE、BCE,四種,其中△ABE重合,不符合條件,△ACE不能構(gòu)成三角形,

          ∴當(dāng)△ABE與以A,B,C,E中的三點為頂點的三角形相似,存在兩個三角形:△ABC和△BC,

          ①當(dāng)△ABE與以A,B,C中的三點為頂點的三角形相似,如圖2,

          ∵∠BAE=BAC,ABE≠ABC,

          ∴∠ABE=ACB=45°,

          ∴△ABE∽△ACB,

          ,

          ,

          AE=

          E(,0),

          B(0,﹣4),

          易得BE:y=,

          x2﹣x﹣4=x﹣4,

          x1=0(舍),x2=,

          D(,);

          ②當(dāng)△ABE與以B,C、E中的三點為頂點的三角形相似,如圖3,

          ∵∠BEA=BEC,

          ∴當(dāng)∠ABE=BCE時,△ABE∽△BCE,

          ,

          設(shè)BE=2m,CE=4m,

          RtBOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,

          ,

          3m2﹣8m+8=0,

          (m﹣2)(3m﹣2)=0,

          m1=2,m2=,

          OE=4m﹣4=12,

          OE=<2,AEB是鈍角,此時△ABE與以B,C、E中的三點為頂點的三角形不相似,如圖4,

          E(﹣12,0);

          同理得BE的解析式為:y=﹣x﹣4,

          x﹣4=x2﹣x﹣4,

          x=0(舍)

          D(,﹣);

          綜上,點D的坐標(biāo)為,或(,﹣).

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          b.家庭年收入在1.3x1.7 這一組的是: 1.3 1.3 1.4 1.5 1.6 1.6

          根據(jù)以上信息,完成下列問題:

          1)將兩個統(tǒng)計圖補充完整;

          2)估計李家莊有多少戶家庭年收入不低于 1.5 萬元且不足 2.1 萬元?

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